Chapitre I • Espaces normés
(2) (i) Valeur de norme.
Il s’agit de vérifier la validité des axiomes de norme (D 1.2) :
(a) Pour toute f ∈ Lip α , p α ( f ) ∈ R
+ ;
pour tout λ ∈ C, p α (λ f ) = |λ|p α ( f ).
Ceci est facile à vérifier.
(b) [ p α ( f ) = 0] ⇔ [ f = 0].
[p α ( f ) = 0 = | f (0)| + sup{
| f (x) − f (y)|
|x − y| α ; (x, y) ∈ J}]
⇔ [ f (0) = 0 et ∀(x, y) ∈ J, | f (x) − f (y)| = 0]
⇔ [∀(x, y) ∈ J, f (x) = f (y) = f (0) = 0] ⇔ [ f = 0].
(c) p α ( f + g) ≤ p α ( f ) + p α (g).
p α ( f + g) ≤ | f (0)| + |g(0)| + sup
| f (x) − f (y)|
|x − y| α ; (x, y) ∈ J
+ sup
|g(x) − g(y)|
|x − y| α ; (x, y) ∈ J
= p α ( f ) + p α (g).
(ii) f ∞ ≤ p α ( f ).
Pour tout f ∈ Lip α , pour tout x ∈ [0, 1], | f (x)| ≤ | f (0)| + | f (x) − f (0)|
≤ | f (0)| + (p α ( f ) − | f (0)|)|x|
α
≤ |f (0)| + (p α ( f ) − | f (0)|) = p α ( f ). En passant au sup sur x ∈ [0, 1], on obtient
f ∞ ≤ p α ( f ).
(3) Soit ( f n ) n∈N une suite de Cauchy de Lip α , et ε > 0.
Il existe N(ε) tel que pour p, q ≥ N(ε), p α ( f p − f q ) ≤ ε.
(I.11)
Comme f p − f q ∞ ≤ p α ( f p − f q ), la suite ( f n ) n∈N est de Cauchy dans l’espace complet
(C([0, 1]), ∞ ), et converge donc uniformément vers une fonction f continue.
Il reste à montrer que f ∈ Lip α et que lim n→∞ p α ( f n − f ) = 0.
Soit p, q entiers ≥ N(ε), et (x, y) ∈ J. D’après (I.11), on a
| f p (0) − f q (0)| +
|( f p (x) − f p (y)) − ( f q (x) − f q (y))|
|x − y| α
≤ p α ( f p − f q ) ≤ ε.
Lorsque p ≥ N(ε) reste fixé et q → ∞, on obtient
| f p (0) − f (0)| +
|( f p (x) − f p (y)) − ( f (x) − f (y))|
|x − y| α
= | f p (0) − f (0)| +
|( f p (x) − f (x)) − ( f p (y) − f (y))|
|x − y| α
≤ ε.
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