1. Énoncés
(1) Montrer que N est une norme sur H(D).
(2) H(D) muni de N est-il un espace de Banach ? (Considérer la série de fonctions de
terme général u n , où u n (z) = z
n , et penser à l’Ex. I.4.)
Exercice I.6
Soit α ∈]0, 1]. On note J = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] ; x y}. Pour toute fonction f :
[0, 1] → C, on pose
p α ( f ) = | f (0)| + sup
| f (x) − f (y)|
|x − y| α ; (x, y) ∈ J
.
Soit Lip α ={ f : [0, 1] → C telles que p α ( f ) < ∞}.
(1) Montrer que Lip α ⊂ C([0, 1]).
(2) Montrer que p α est une norme sur Lip α vérifiant :
Pour toute f ∈ Lip α , f ∞ ≤ p α ( f ).
(3) Montrer que Lip α est complet pour cette norme (cf. D 1.7).
Exercice I.7
Soit Lip α l’espace de Banach défini dans (Ex I.6), α et β deux nombres tels que
0 < β < α ≤ 1. Soit C([0, 1]) l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] et
C
1 ([0, 1]) l’espace vectoriel des fonctions continûment différentiables sur [0, 1].
(1) Soient les fonctions f α , f α (x) = x
α . Pour quelles valeurs de γ ∈]0, 1] sont-elles
dans Lip γ ?
(2) Soit g la fonction continue définie par g(x) = (ln(
x
2
))
−1 si x 0, g(0) = 0. Montrer
qu’elle n’est dans aucun des Lip α .
(3) Soit ϕ la fonction définie par ϕ(x) = x ln(x) pour x 0, ϕ(0) = 0 ; montrer qu’elle
n’est pas dans Lip 1 , mais qu’elle est dans Lip α pour α ∈]0, 1[.
(Pour cela, on pourra observer que sup t∈]0,1] (t
1−α
| ln t|)
de f
= C α < ∞ et utiliser la formule fondamentale du calcul intégral
0 < x ≤ y ≤ 1 =⇒ ϕ(y) − ϕ(x) =
y
x
ϕ
(t)dt.)
(4) Établir les inclusions
C
1 ([0, 1]) ⊂ Lip α ⊂ Lip β ⊂ C([0, 1]).
Montrer que ce sont des inclusions strictes.
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