Chapitre I • Espaces normés
Exercice I.8
Soit E un espace normé et M un sous-espace fermé de E. Pour x ∈ E/M, on note
N( x) = d(x, M) = inf
z∈M
x + z = inf
y∈ x
y.
(1) Montrer que N est une norme sur E/M et que, si E est complet, alors E/M muni
de la norme N(.) est complet (on peut utiliser la méthode de l’Ex. I.4).
(2) Formuler et prouver une réciproque de (1).
Exercice I.9 : Rigidité des isométries
Soit E un R-espace vectoriel normé et T : E → E une isométrie
(T (x) − T (y) = x − y ∀x, y ∈ E) préservant l’origine (T (0) = 0). On se propose de
voir si T est linéaire. On notera diam(A) = sup{{x − y; x, y ∈ A} ≤ ∞ le diamètre d’une
partie non-vide A de E.
(1) On fixe a, b ∈ E, et on pose m =
a+b
2 . On veut d’abord donner une construction
métrique de ce milieu m de [a, b]. Pour cela, soit
E 1 =
x ∈ E; x − a = x − b =
1
2
a − b
,
et si n ≥ 2, soit E n l’ensemble des « centres » de E n−1 défini par :
E n =
x ∈ E n−1 ; x − y ≤
1
2
diam(E n−1 ) ∀y ∈ E n−1
.
Montrer que
∞
n=1
E n = {m}.
(Ind : Montrer par récurrence que x ∈ E n =⇒ a + b − x ∈ E n .)
(2) On suppose T surjective. En utilisant (1) et T (0) = 0, montrer que
T
a + b
2
=
T (a) + T (b)
2
∀a, b ∈ E,
et conclure que T est additive, puis linéaire.
(3) On suppose dim E < ∞. Montrer que T est automatiquement surjective, et donc
linéaire.
(4) Soit E = c 0 l’espace des suites x = (x n ) n∈N de réels de limite nulle avec la norme
usuelle (cf. Ex. II.7) et T : E → E (shift non-linéaire) définie par
T (x) = (sin x 0 , x 0 , x 1 , x 2 , . . .).
Montrer que T est isométrique et fixe l’origine, mais qu’elle n’est pas linéaire.
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