Chapitre I • Espaces normés
(2) On munit E de la norme f = f ∞ + f
∞ . Montrer que E, . est un espace de
Banach (D 1.7).
Exercice I.3
Soit ω : R
+
→]0, ∞[ une fonction continue donnée (un « poids »). Soit
E ω = { f : R
+
→ C telles que sup
x∈R +
(ω(x)| f (x)|) < ∞}
muni de la norme f ∞,ω = sup x∈R + (ω(x)| f (x)|).
(1) Montrer que E ω est un espace de Banach pour cette norme.
(2) Soit F ω le sous-espace de E ω constitué des fonctions continues. Montrer que F ω
est un sous-espace vectoriel fermé de E ω .
(3) Soit G ω le sous-espace de F ω constitué des fonctions ayant une limite à l’infini.
Montrer que G ω est un sous-espace vectoriel fermé de F ω .
(4) Soit H ω le sous-espace de G ω constitué des fonctions de limite nulle à l’infini.
Montrer que H ω est un sous-espace vectoriel fermé de G ω .
Exercice I.4 : Preuve de P 2.1
(1) E est un espace normé, (x n ) n∈N ∗ est une suite de Cauchy de E. On suppose
qu’il existe une sous-suite (y p ) p∈N ∗ de (x n ) convergente dans E vers y, montrer que
y = lim n→∞ x n .
(2) E est un espace normé,(x n ) n∈N ∗ est une suite de Cauchy de E. Montrer qu’il existe
une sous-suite (y p ) p∈N ∗ de (x n ) pour laquelle on a l’inégalité suivante :
y p+1 − y p ≤ 2
−p pour tout p ∈ N
∗ .
(3) Montrer qu’un espace normé est complet si et seulement si toute série absolument
convergente est convergente (Résultat fondamental ! cf. P 2.1).
(4) Soit E = C([−1, 1]), espace des fonctions continues sur [−1, 1], muni de la norme
. 1 . Soit
f n (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0 si x ∈ [−1, 0]
nx si x ∈ [0, 1/n]
1 si x ∈ [1/n, 1]
(i) Montrer que ( f n ) n∈N ∗ est de Cauchy dans E. Est-elle convergente dans E ?
(ii) On considère la série de terme général g n = f n+1 − f n . Montrer que
n=∞
n=1 g n 1 < ∞, mais que la série
n=∞
n=1 g n ne converge pas dans E.
Exercice I.5
Soit D = {z ∈ C tels que |z| < 2} et soit H(D) l’espace des fonctions f : D → C
holomorphes ; on pose N( f ) = sup |z|≤
1
2
(| f (z)|).
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