ESPACES NORMÉS
I
1 ÉNONCÉS
Exercice I.1
Soit α = (α n ) n∈N ∗ une suite de nombres strictement positifs, et 1 ≤ p < ∞. On note
respectivement
p
α = {x = (x n ) n∈N ∗ , x n ∈ C telles que
∞
n=1
α n |x n |
p
< ∞},
∞
α = {x = (x n ) n∈N ∗ , x n ∈ C telles que sup
n∈N ∗
(α n |x n |) < ∞}.
p
α et
∞
α sont munis des normes respectives
x p,α = (
∞
n=1 α n |x n |
p )
1/ p et x ∞,α = sup n∈N ∗ (|α n x n |).
(1) Montrer que
p
α et
∞
α sont des espaces de Banach (cf. D 1.7).
(2) On choisit α = 1, suite dont tous les éléments sont égaux à 1. Montrer que si
1 ≤ p < q ≤ ∞, alors
p
1 ⊂
q
1 , avec inclusion stricte et contractante :
f q ≤ ≤ f p ∀ f ∈
p .
(3) Soit c 0,α = {x = (x n ) n∈N ∗ ; lim n→∞ α n x n = 0}. Montrer que c 0,α muni de la norme
. ∞,α est un espace de Banach.
Exercice I.2
Soit E = C
1 ([−1, 1]) l’espace des fonctions complexes continûment dérivables sur
[−1, 1].
(1) On munit E de la norme uniforme, f ∞ = sup(| f (x)|; x ∈ [−1, 1]).
Montrer que (E, . ∞ ) n’est pas un espace de Banach (On pourra utiliser la suite
( f n ) n∈N ∗ définie par f n (x) =
x 2 +
1
n 2 ).
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