Cours
Chapitre 10 ALGÈBRES DE BANACH
D10. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 10.1
Algèbre normée,
Algèbre de Banach
Un ensemble A est une algèbre normée si
(i) il a une structure d’algèbre avec unité e
(ii) sa norme satisfait à e = 1 et
∀a, b ∈ A, ab ≤ ≤a b.
Si de plus (A, ) est un espace de Banach, on dit
que A est une algèbre de Banach.
D 10.2
Algèbre-quotient A/B
A algèbre de Banach, B idéal bilatère fermé de A,
A/B est un espace de Banach selon (D 1.7), et une
algèbre de Banach.
[ab] = [a] [b].
D 10.3
a inversible,
inverse a
−1
A algèbre de Banach (ou algèbre normée), et
a ∈ A.
a inversible à gauche : ∃b ∈ A; ba = e,
a inversible à droite : ∃c ∈ A; ac = e,
a inversible : ∃b = a
−1 ∈ A; ab = ba = e.
D 10.4
Spectre de a,
σ A (a) ou σ(a)
A algèbre de Banach (ou algèbre normée), a ∈ A.
σ(a) = {λ ∈ C; (a − λe) est non-inversible }.
D 10.5
Ensemble résolvant de a,
ρ A (a) ou ρ(a)
A algèbre de Banach (ou algèbre normée), a ∈ A.
ρ(a) = C \ σ(a).
D 10.6
Rayon spectral de a, r(a)
A algèbre de Banach (ou algèbre normée), a ∈ A.
r(a) = sup{|λ|; λ ∈ σ(a)}.
D 10.7
Série de Neumann
S A (λ)
A algèbre de Banach, a ∈ A, |λ| > a.
S A (λ) = (λe − a)
−1 =
∞
n=0 λ
−(n+1) a
n .
D 10.8
Fonction de a,
f(a), Ω(a)
A algèbre de Banach, a ∈ A, Ω ouvert de C,
Ω ⊇ σ(a), Γ courbe de Jordan d’intérieur Δ,
σ(a) ⊆ Δ ⊂ Δ ⊂ Ω, et f : Ω → C analytique. Alors :
f(a) =
1
2iπ
Γ
f(λ)(λe − a)
−1 dλ (intégrale de Riemann
vectorielle), et Ω(a) = {f(a) ; f analytique : Ω → C}.
D 10.9
C
-algèbre A,
adjoint de a, a
∗
A algèbre de Banach munie d’une involution,
opération interne {a → a
∗ } vérifiant
(a + b)
∗ = a
∗ + b
∗ , (λa)
∗ = λa
∗ ,
(ab)
∗ = b
∗ a
∗ , (a
∗ )
∗ = a, a
∗ a = a
2 .
a
∗ est l’adjoint de a.
D 10.10
a auto-adjoint
A est une C
-algèbre, a ∈ A et
a = a
∗ .
D 10.11
a normal
A est une C
-algèbre, a ∈ A et
a
∗ a = aa
∗ .
D 10.12
a unitaire
A est une C
-algèbre, a ∈ A et
a
∗ a = aa
∗ = e.
D 10.13
a ≥ 0, a positif
A est une C
-algèbre, a ∈ A et
a
∗ = a et σ(a) ⊆ R
+ .
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