9. Convergence faible et...
P9. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 9.1
Désignation
Dans un EVTLC (D 9.3), l’ensemble des voisinages
d’un point x est le translaté par x de l’ensemble
des voisinages de 0.
P 9.2
Théorème de Krein-Milman
Dans un EVTLC, si M est convexe et compact,
M = co(Ext(M)).
P 9.3
Caractère localement convexe
des topologies faibles
(E, σ(E, E
∗ )) et (E
∗ , σ(E
∗ , E)), cf. (D 9.6) et (D 9.7),
sont des EVTLC.
P 9.4
Convergence faible des suites
E espace de Banach, suite (x n ) n∈N ∗ dans E, x ∈ E,
(i) [x n
w
→ x] ⇔ [∀f ∈ E
∗ , x n − x, f → 0]
(ii) Toute suite faiblement convergente est
bornée.
P 9.5
Convergence étoile-faible ou
préfaible des suites
E espace de Banach, suite (f n ) n∈N ∗ dans E
∗ , f ∈ E
∗
(i) [f n
w∗
→ f] ⇔ [∀x ∈ E, f n − f, x → 0]
(ii) Toute suite préfaiblement convergente est
bornée.
P 9.6
Théorème d’Alaoglu
E espace normé,
La boule unité fermée de (E
∗ , w
∗ ) est
w*-compacte.
P 9.7
Continuité faible et continuité
forte
E, F espaces de Banach, A application linéaire de E
dans F, [A ∈ L(E, F)] ⇔ [A continue de (E, w) dans
(F, w)].
P 9.8
Adhérence faible d’un
convexe
E espace de Banach, M sous-ensemble convexe de
E, M = M
w (adhérence dans (E, w)).
P 9.9
Compacité par convergence
faible, condition nécessaire
E, F espaces de Banach, A ∈ K(E, F) (D 7.6),
[x n
w
→ x] ⇒ [Ax n → Ax au sens de la norme].
P 9.10
Approximation en
SOT-topologie
E espace de Hilbert,
K 0 (E) (D 7.2) est dense dans L(E) pour la
SOT-topologie.
P 9.11
Compacité testée sur les suites
orthonormales
H espace de Hilbert, A ∈ L(H).
(i) (x n ) n∈N ∗ orthonormale ⇒ (x n )
w
→ 0 ;
(ii) [A ∈ K(H)] ⇔ [∀(x n ) n∈N ∗ suite orthonormale,
lim n→∞ Ax n , x n = 0].
(iii) [A ∈ K(H)] ⇐⇒ [∀(x n ) n∈N ∗ suite orthonormale,
lim n→∞ Ax n = 0].
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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