Cours
Chapitre 9 CONVERGENCE FAIBLE ET...
D9. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 9.1
Ensemble convexe M
E espace vectoriel, M ⊆ E,
∀x, y ∈ E, ∀t ∈ [0, 1], tx + (1 − t)y ∈ E.
D 9.2
Espace vectoriel topologique
(E, T )
E espace vectoriel, (T ), topologie définie par une
famille d’ouverts telle que les opérations d’espace
vectoriel soient continues, espace séparé.
D 9.3
(E, T ) localement convexe,
EVTLC
(E, T ) selon (D 9.2) ; il existe une base de
voisinages ouverts de 0 formée d’ouverts
convexes.
On note EVTLC un tel espace.
D 9.4
Ensemble Ext(M) des points
extrémaux d’un convexe
fermé M
(E, T ) selon (D 9.3) ; M convexe fermé dans E.
Un point a ∈ M est extrême (ou extrémal) si
[a ∈ [x, y] ⊆ M] ⇒ [a = x ou a = y].
Ext(M) = {a; a point extrême de M}.
D 9.5
Enveloppe convexe fermée de
G, co(G)
(E, T ) selon (D 9.3) ; G ⊆ E,
co(G) = ∩(M ⊇ G; M convexe fermé).
D 9.6
Topologie faible ou
w-topologie
(E, w), (E, σ(E, E
∗ ))
(E, T ) selon (D 9.3) ; une sous-base de voisinages
ouverts de x est formée des
V f,ε (x) = {y ∈ E ; ||y − x, f| < ε},
f ∈ E
∗ , ε > 0.
T est notée w ou σ(E, E
∗ ).
D 9.7
Topologie dite étoile-faible ou
encore w
∗ -topologie sur E
∗ ,
(E
∗ , w
∗ ), ou bien (E
∗ , σ(E
∗ , E))
(E
∗ , T ) selon (D 9.3) ; une sous-base de voisinages
ouverts de f est formée des
W x,ε (f) = {g ∈ E
∗ ; ||x, g − f| < ε}, x ∈ E, ε > 0.
T est notée w* ou σ(E
∗ , E).
D 9.8
x n tend faiblement vers x,
x n
w
→ x
x n ∈ E, la suite (x n ) converge vers x dans
(E, σ(E, E
∗ )) selon (D 9.6).
D 9.9
f n tend *-faiblement vers f,
f n
w∗
→ vers f
f n ∈ E
∗ , la suite (f n ) converge vers f dans
(E
∗ , σ(E
∗ , E)) selon (D 9.7).
D 9.10
Topologie uniforme ou de la
norme sur L(E, F) = G
E, F espaces de Banach selon (D 2.5)
Topologie associée à la norme-opérateur sur G.
D 9.11
Topologie SOT ou
forte-opérateur sur L(E, F) = G
G est muni de la topologie telle qu’une sous-base
de voisinages de A est, pour x ∈ E et ε > 0
quelconques : V x,ε (A) = {B ∈ G ; (B − A)x < ε}.
D 9.12
Topologie WOT ou
faible-opérateur sur
L(E, F) = G
G est muni de la topologie telle qu’une sous-base
de voisinages de A est (x ∈ E, f ∈ E
∗ , ε > 0
quelconques) : V x,f,ε (A) = {B ; ||(B − A)x, f| < ε},
où B ∈ G.
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Chapitre 9 CONVERGENCE FAIBLE ET...
D9. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 9.1
Ensemble convexe M
E espace vectoriel, M ⊆ E,
∀x, y ∈ E, ∀t ∈ [0, 1], tx + (1 − t)y ∈ E.
D 9.2
Espace vectoriel topologique
(E, T )
E espace vectoriel, (T ), topologie définie par une
famille d’ouverts telle que les opérations d’espace
vectoriel soient continues, espace séparé.
D 9.3
(E, T ) localement convexe,
EVTLC
(E, T ) selon (D 9.2) ; il existe une base de
voisinages ouverts de 0 formée d’ouverts
convexes.
On note EVTLC un tel espace.
D 9.4
Ensemble Ext(M) des points
extrémaux d’un convexe
fermé M
(E, T ) selon (D 9.3) ; M convexe fermé dans E.
Un point a ∈ M est extrême (ou extrémal) si
[a ∈ [x, y] ⊆ M] ⇒ [a = x ou a = y].
Ext(M) = {a; a point extrême de M}.
D 9.5
Enveloppe convexe fermée de
G, co(G)
(E, T ) selon (D 9.3) ; G ⊆ E,
co(G) = ∩(M ⊇ G; M convexe fermé).
D 9.6
Topologie faible ou
w-topologie
(E, w), (E, σ(E, E
∗ ))
(E, T ) selon (D 9.3) ; une sous-base de voisinages
ouverts de x est formée des
V f,ε (x) = {y ∈ E ; ||y − x, f| < ε},
f ∈ E
∗ , ε > 0.
T est notée w ou σ(E, E
∗ ).
D 9.7
Topologie dite étoile-faible ou
encore w
∗ -topologie sur E
∗ ,
(E
∗ , w
∗ ), ou bien (E
∗ , σ(E
∗ , E))
(E
∗ , T ) selon (D 9.3) ; une sous-base de voisinages
ouverts de f est formée des
W x,ε (f) = {g ∈ E
∗ ; ||x, g − f| < ε}, x ∈ E, ε > 0.
T est notée w* ou σ(E
∗ , E).
D 9.8
x n tend faiblement vers x,
x n
w
→ x
x n ∈ E, la suite (x n ) converge vers x dans
(E, σ(E, E
∗ )) selon (D 9.6).
D 9.9
f n tend *-faiblement vers f,
f n
w∗
→ vers f
f n ∈ E
∗ , la suite (f n ) converge vers f dans
(E
∗ , σ(E
∗ , E)) selon (D 9.7).
D 9.10
Topologie uniforme ou de la
norme sur L(E, F) = G
E, F espaces de Banach selon (D 2.5)
Topologie associée à la norme-opérateur sur G.
D 9.11
Topologie SOT ou
forte-opérateur sur L(E, F) = G
G est muni de la topologie telle qu’une sous-base
de voisinages de A est, pour x ∈ E et ε > 0
quelconques : V x,ε (A) = {B ∈ G ; (B − A)x < ε}.
D 9.12
Topologie WOT ou
faible-opérateur sur
L(E, F) = G
G est muni de la topologie telle qu’une sous-base
de voisinages de A est (x ∈ E, f ∈ E
∗ , ε > 0
quelconques) : V x,f,ε (A) = {B ; ||(B − A)x, f| < ε},
où B ∈ G.
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