8. Opérateurs intégraux
Chapitre 8 OPÉRATEURS INTÉGRAUX
D8. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 8.1
L
2 (J)
J, intervalle [a, b] de R, éléments f, fonctions de
carré sommable, E = L
2 (J), espace de Hilbert pour
(f | g) =
b
a
f(x)g(x)dx, norme de f, f 2 ,
généralisation pour J, rectangle de R
2 .
D 8.2
Opérateur intégral
A
E = L
2 ([a, b]), K ∈ L
2 ([a, b] × [a, b])
A : {E → E, f → h, h(x) =
b
a
K(x, y)f(y)dy}.
D 8.3
Noyau de A
A selon (D 8.2), K est le noyau de A.
D 8.4
Équation de Fredholm
E et K selon (D 8.2), g ∈ E, λ ∈ C, f cherchée dans
E, équation
b
a
K(x, y)f(y)dy − λf(x) = g(x).
P8. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 8.1
Norme d’un opérateur
à noyau
A de (D 8.2) est un opérateur compact,
A ≤ ≤K 2 .
P 8.2
Noyau de l’adjoint d’un
opérateur intégral
Pour A de (D 7.2), A
∗ est un opérateur de
Hilbert-Schmidt de noyau K
∗ (x, y) = K(y, x).
P 8.3
Noyau d’un produit
d’opérateurs
A 1 , A 2 de Hilbert-Schmidt de noyaux respectifs
K 1 , K 2 , alors A = A 1 A 2 est de même nature, et son
noyau est K(x, y) =
b
a
K 1 (x, u)K 2 (u, y)du.
P 8.4
Opérateurs auto-adjoints
à noyau
Pour A de Hilbert-Schmidt,
(i) [A = 0] ⇔ [K = 0]
(ii) [A auto-adjoint] ⇔ [∀x, y, K(x, y) = K(y, x)].
P 8.5
Décomposition
Hilbert-Schmidt d’un noyau
A de Hilbert-Schmidt, A normal, (λ n , n ∈ N
∗
(ou famille finie)), valeurs propres non nulles
comptées selon leur multiplicité, (e n ) système
orthonormé de vecteurs propres associés, alors
(i) K(x, y) =
n λ n e n (x)e n (y),
(ii) (K 2 )
2 =
n | λ n |
2 .
P 8.6
Théorème de Mercer
Notations de (P 8.5). Si A ≥ 0 et K continue sur
J
2 = [a, b] × [a, b], alors les e n sont continues sur J,
la convergence dans (P 8.5 (i)) est absolue et
uniforme.
P 8.7
Formule de trace
Les hypothèses sont celles de (P 8.6), alors
∞
n=1 λ n =
b
a
K(x, x)dx.
P 8.8
Équation de Fredholm
revisitée
Pour λ 0, l’équation de Fredholm (D 8.4) admet
au plus un ensemble de solutions f 0 + H, H espace
vectoriel de dimension finie.
Si λ n’est pas un des λ n de (P 8.5), la solution existe
et est unique.
Si K est le noyau d’un opérateur de HilbertSchmidt normal, la solution est déterminée par
f =
n f, e n e n ,
n (λ − λ n )f, e n e n =
n g, e n e n .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 8 OPÉRATEURS INTÉGRAUX
D8. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 8.1
L
2 (J)
J, intervalle [a, b] de R, éléments f, fonctions de
carré sommable, E = L
2 (J), espace de Hilbert pour
(f | g) =
b
a
f(x)g(x)dx, norme de f, f 2 ,
généralisation pour J, rectangle de R
2 .
D 8.2
Opérateur intégral
A
E = L
2 ([a, b]), K ∈ L
2 ([a, b] × [a, b])
A : {E → E, f → h, h(x) =
b
a
K(x, y)f(y)dy}.
D 8.3
Noyau de A
A selon (D 8.2), K est le noyau de A.
D 8.4
Équation de Fredholm
E et K selon (D 8.2), g ∈ E, λ ∈ C, f cherchée dans
E, équation
b
a
K(x, y)f(y)dy − λf(x) = g(x).
P8. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 8.1
Norme d’un opérateur
à noyau
A de (D 8.2) est un opérateur compact,
A ≤ ≤K 2 .
P 8.2
Noyau de l’adjoint d’un
opérateur intégral
Pour A de (D 7.2), A
∗ est un opérateur de
Hilbert-Schmidt de noyau K
∗ (x, y) = K(y, x).
P 8.3
Noyau d’un produit
d’opérateurs
A 1 , A 2 de Hilbert-Schmidt de noyaux respectifs
K 1 , K 2 , alors A = A 1 A 2 est de même nature, et son
noyau est K(x, y) =
b
a
K 1 (x, u)K 2 (u, y)du.
P 8.4
Opérateurs auto-adjoints
à noyau
Pour A de Hilbert-Schmidt,
(i) [A = 0] ⇔ [K = 0]
(ii) [A auto-adjoint] ⇔ [∀x, y, K(x, y) = K(y, x)].
P 8.5
Décomposition
Hilbert-Schmidt d’un noyau
A de Hilbert-Schmidt, A normal, (λ n , n ∈ N
∗
(ou famille finie)), valeurs propres non nulles
comptées selon leur multiplicité, (e n ) système
orthonormé de vecteurs propres associés, alors
(i) K(x, y) =
n λ n e n (x)e n (y),
(ii) (K 2 )
2 =
n | λ n |
2 .
P 8.6
Théorème de Mercer
Notations de (P 8.5). Si A ≥ 0 et K continue sur
J
2 = [a, b] × [a, b], alors les e n sont continues sur J,
la convergence dans (P 8.5 (i)) est absolue et
uniforme.
P 8.7
Formule de trace
Les hypothèses sont celles de (P 8.6), alors
∞
n=1 λ n =
b
a
K(x, x)dx.
P 8.8
Équation de Fredholm
revisitée
Pour λ 0, l’équation de Fredholm (D 8.4) admet
au plus un ensemble de solutions f 0 + H, H espace
vectoriel de dimension finie.
Si λ n’est pas un des λ n de (P 8.5), la solution existe
et est unique.
Si K est le noyau d’un opérateur de HilbertSchmidt normal, la solution est déterminée par
f =
n f, e n e n ,
n (λ − λ n )f, e n e n =
n g, e n e n .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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