Cours
N
o
Désignation
Énoncé
P 7.6
Adjoint d’un produit tensoriel
E, F espaces de Hilbert, e ∈ E, f ∈ F
(e ⊗ f)
∗ = f
∗ ⊗ e.
P 7.7
Rang du transposé
E, F espaces normés, A ∈ K 0 (E, F),
A et A
ont même rang.
P 7.8
Composition avec un produit
tensoriel
H espace de Hilbert, A, B ∈ L(H), e, f ∈ H. Alors :
A(e ⊗ f)B = Ae ⊗ B
∗ f.
P 7.9
Ensemble des opérateurs
compacts
E, F espaces normés,
K 0 (E, F) ⊆ K(E, F) ⊆ L(E, F).
P 7.10
Stabilité de la notion
d’opérateur compact
Toute combinaison linéaire d’opérateurs
compacts est un opérateur compact.
A compact, S et T linéaires continus, alors AS
et TA sont compacts (espaces compatibles avec
l’existence du produit).
P 7.11
Idéal des opérateurs compacts
E espace normé, F espace de Banach, K(E, F) est
fermé dans L(E, F).
Si E = F, espace de Banach, K(E) est un idéal
bilatère de L(E).
P 7.12
Propriété d’approximation
H espace de Hilbert, K(H) = K 0 (H).
P 7.13
Transposé d’un compact
E, F espaces de Banach, A ∈ L(E, F)
[A compact] ⇔ [A
compact].
P 7.14
Caractère Fredholm des
perturbations compactes de I
E espace normé, A ∈ K(E). Alors :
(i) ker(I − A) est de dimension finie
(ii) Im(I − A) est fermé et de codimension finie.
(iii) codim(Im(I − A)) = dim(ker(I − A)).
P 7.15
Spectre de A compact
E espace de Banach de dimension infinie,
A ∈ K(E). Alors :
(i) 0 ∈ σ(A) (D 4.4)
(ii) σ(A) est fini ou dénombrable, 0 est le seul
point d’accumulation possible
(iii) Si [λ 0, λ ∈ σ(A)], alors λ ∈ σ p (A) (D 4.6) et
l’espace propre est de dimension finie.
P 7.16
Forme canonique,
écriture spectrale
H est un espace de Hilbert, A ∈ K(H).
(i) Pour A normal,
∃(λ n ) suite finie ou infinie de complexes non nuls,
de limite 0,
∃(e n ), famille orthonormale d’éléments de H telles
que ∀x ∈ E, Ax =
∞
n=1 λ n x, e n e n donc
A =
∞
n=1 λ n e n ⊗ e n .
Les (λ n , e n ) sont des couples (valeur propre,
vecteur propre). Les λ n sont les valeurs propres non
nulles de A comptées selon leur multiplicité
(dimension de l’espace propre).
(ii) Pour A quelconque, la forme canonique (P 7.2)
étendue à n ∈ N
∗ est valable.
N.B. La « forme canonique » n’est pas unique : facteurs de norme 1 pour les vecteurs ou
ambiguïté due à une valeur propre double par exemple. On parlera cependant usuellement de « la forme canonique ».
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Désignation
Énoncé
P 7.6
Adjoint d’un produit tensoriel
E, F espaces de Hilbert, e ∈ E, f ∈ F
(e ⊗ f)
∗ = f
∗ ⊗ e.
P 7.7
Rang du transposé
E, F espaces normés, A ∈ K 0 (E, F),
A et A
ont même rang.
P 7.8
Composition avec un produit
tensoriel
H espace de Hilbert, A, B ∈ L(H), e, f ∈ H. Alors :
A(e ⊗ f)B = Ae ⊗ B
∗ f.
P 7.9
Ensemble des opérateurs
compacts
E, F espaces normés,
K 0 (E, F) ⊆ K(E, F) ⊆ L(E, F).
P 7.10
Stabilité de la notion
d’opérateur compact
Toute combinaison linéaire d’opérateurs
compacts est un opérateur compact.
A compact, S et T linéaires continus, alors AS
et TA sont compacts (espaces compatibles avec
l’existence du produit).
P 7.11
Idéal des opérateurs compacts
E espace normé, F espace de Banach, K(E, F) est
fermé dans L(E, F).
Si E = F, espace de Banach, K(E) est un idéal
bilatère de L(E).
P 7.12
Propriété d’approximation
H espace de Hilbert, K(H) = K 0 (H).
P 7.13
Transposé d’un compact
E, F espaces de Banach, A ∈ L(E, F)
[A compact] ⇔ [A
compact].
P 7.14
Caractère Fredholm des
perturbations compactes de I
E espace normé, A ∈ K(E). Alors :
(i) ker(I − A) est de dimension finie
(ii) Im(I − A) est fermé et de codimension finie.
(iii) codim(Im(I − A)) = dim(ker(I − A)).
P 7.15
Spectre de A compact
E espace de Banach de dimension infinie,
A ∈ K(E). Alors :
(i) 0 ∈ σ(A) (D 4.4)
(ii) σ(A) est fini ou dénombrable, 0 est le seul
point d’accumulation possible
(iii) Si [λ 0, λ ∈ σ(A)], alors λ ∈ σ p (A) (D 4.6) et
l’espace propre est de dimension finie.
P 7.16
Forme canonique,
écriture spectrale
H est un espace de Hilbert, A ∈ K(H).
(i) Pour A normal,
∃(λ n ) suite finie ou infinie de complexes non nuls,
de limite 0,
∃(e n ), famille orthonormale d’éléments de H telles
que ∀x ∈ E, Ax =
∞
n=1 λ n x, e n e n donc
A =
∞
n=1 λ n e n ⊗ e n .
Les (λ n , e n ) sont des couples (valeur propre,
vecteur propre). Les λ n sont les valeurs propres non
nulles de A comptées selon leur multiplicité
(dimension de l’espace propre).
(ii) Pour A quelconque, la forme canonique (P 7.2)
étendue à n ∈ N
∗ est valable.
N.B. La « forme canonique » n’est pas unique : facteurs de norme 1 pour les vecteurs ou
ambiguïté due à une valeur propre double par exemple. On parlera cependant usuellement de « la forme canonique ».
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