7. Opérateurs compacts
Chapitre 7 OPÉRATEURS COMPACTS
D7. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 7.1
Opérateur A borné de rang
fini.
E, F espaces normés, A ∈ L(E, F) (D 2.5), et Im(A)
est de dimension finie.
Rang de A
def
= dim Im(A).
D 7.2
Espace des opérateurs de rang
fini
K 0 (E, F) ensemble des opérateurs bornés de rang
fini de E dans F
K 0 (E) = K 0 (E, E).
D 7.3
e tensoriel f
∗
e ⊗ f
∗ (cas Banach)
E, F espaces normés, e ∈ E, f
∗ ∈ F
∗
e tensoriel f
∗ : {F → E, x → →x, f
∗ e}.
D 7.4
e tensoriel f
e ⊗ f (cas Hilbert)
E, F espaces de Hilbert, e ∈ E, f ∈ F
e tensoriel f : {F → E, x → →x, fe}.
D 7.5
Opérateur compact A
E, F espaces normés, A linéaire de E dans F telle
que ∀M ⊆ E, M borné, A(M) est relativement
compact (adhérence compacte) dans F.
D 7.6
Espace des opérateurs
compacts
E, F espaces normés, K(E, F) est l’ensemble des
opérateurs compacts de E dans F, sous-espace de
l’espace normé L(E, F)
K(E) = K(E, E).
P7. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 7.1
Forme canonique 1
(cas Banach)
E, F espaces normés, A ∈ K 0 (E, F), A de rang j,
∃(e n , n = 1, . . . , j) libre dans E
∃(f
∗
n , n = 1, . . . , j) libre dans F
∗ tels que
A =
(e n ⊗ f
∗
n , n = 1, . . . , j).
P 7.2
Forme canonique
2 (cas Banach)
E, F espaces de Hilbert, A ∈ K 0 (E, F), A de rang j,
∃(e n , n = 1, . . . , j) orthonormé dans E,
∃(f n , n = 1, . . . , j) orthonormé dans F,
∃(λ n , n = 1, . . . , j), ∀n, λ n > 0 tels que
A =
j
n=1
(λ n e n ⊗ f n ).
Les λ n sont les valeurs propres non nulles de |A|
comptées selon leur multiplicité (dimension de
l’espace propre) ; f n est vecteur propre relatif à λ n ;
e n = Uf n (D 6.9).
P 7.3
Forme canonique
3 (cas Hilbert)
E espace de Hilbert, A ∈ K 0 (E), A auto-adjoint de
rang j,
∃(e n , n = 1, . . . , j) orthonormé dans E
∃(λ n , n = 1, . . . , j), ∀n, λ n réel non nul, tels que
A =
(λ n e n ⊗ e n , n = 1, . . . , j).
P 7.4
Lecture du rang
Tout opérateur ayant la forme décrite en (P 7.1)
ou (P 7.2) ou (P 7.3) est borné de rang j.
P 7.5
Transposé d’un produit
tensoriel
E, F espaces normés, e ∈ E, f
∗ ∈ F
∗
(e ⊗ f
∗ )
= f
∗ ⊗ e (identification de e ∈ E avec un
élément de E
∗∗ selon (P 2.10)).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 7 OPÉRATEURS COMPACTS
D7. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 7.1
Opérateur A borné de rang
fini.
E, F espaces normés, A ∈ L(E, F) (D 2.5), et Im(A)
est de dimension finie.
Rang de A
def
= dim Im(A).
D 7.2
Espace des opérateurs de rang
fini
K 0 (E, F) ensemble des opérateurs bornés de rang
fini de E dans F
K 0 (E) = K 0 (E, E).
D 7.3
e tensoriel f
∗
e ⊗ f
∗ (cas Banach)
E, F espaces normés, e ∈ E, f
∗ ∈ F
∗
e tensoriel f
∗ : {F → E, x → →x, f
∗ e}.
D 7.4
e tensoriel f
e ⊗ f (cas Hilbert)
E, F espaces de Hilbert, e ∈ E, f ∈ F
e tensoriel f : {F → E, x → →x, fe}.
D 7.5
Opérateur compact A
E, F espaces normés, A linéaire de E dans F telle
que ∀M ⊆ E, M borné, A(M) est relativement
compact (adhérence compacte) dans F.
D 7.6
Espace des opérateurs
compacts
E, F espaces normés, K(E, F) est l’ensemble des
opérateurs compacts de E dans F, sous-espace de
l’espace normé L(E, F)
K(E) = K(E, E).
P7. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 7.1
Forme canonique 1
(cas Banach)
E, F espaces normés, A ∈ K 0 (E, F), A de rang j,
∃(e n , n = 1, . . . , j) libre dans E
∃(f
∗
n , n = 1, . . . , j) libre dans F
∗ tels que
A =
(e n ⊗ f
∗
n , n = 1, . . . , j).
P 7.2
Forme canonique
2 (cas Banach)
E, F espaces de Hilbert, A ∈ K 0 (E, F), A de rang j,
∃(e n , n = 1, . . . , j) orthonormé dans E,
∃(f n , n = 1, . . . , j) orthonormé dans F,
∃(λ n , n = 1, . . . , j), ∀n, λ n > 0 tels que
A =
j
n=1
(λ n e n ⊗ f n ).
Les λ n sont les valeurs propres non nulles de |A|
comptées selon leur multiplicité (dimension de
l’espace propre) ; f n est vecteur propre relatif à λ n ;
e n = Uf n (D 6.9).
P 7.3
Forme canonique
3 (cas Hilbert)
E espace de Hilbert, A ∈ K 0 (E), A auto-adjoint de
rang j,
∃(e n , n = 1, . . . , j) orthonormé dans E
∃(λ n , n = 1, . . . , j), ∀n, λ n réel non nul, tels que
A =
(λ n e n ⊗ e n , n = 1, . . . , j).
P 7.4
Lecture du rang
Tout opérateur ayant la forme décrite en (P 7.1)
ou (P 7.2) ou (P 7.3) est borné de rang j.
P 7.5
Transposé d’un produit
tensoriel
E, F espaces normés, e ∈ E, f
∗ ∈ F
∗
(e ⊗ f
∗ )
= f
∗ ⊗ e (identification de e ∈ E avec un
élément de E
∗∗ selon (P 2.10)).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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