Cours
P6. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 6.1
Transposé et adjoint
Avec l’identification (P 5.7),
M
⊥ (D 2.10) coïncide avec M
⊥ (D 5.6)
A
(D 4.8) coïncide avec A
∗ (D 6.1).
P 6.2
Propriétés de l’adjoint
H, K, L espaces de Hilbert, A, B ∈ L(H, K), α ∈ C,
C ∈ L(K, L),
(A + αB)
∗ = A
∗ + αB
∗
(CA)
∗ = A
∗ C
∗ , (A
∗ )
∗ = A
Si A est inversible, (A
∗ )
−1 = (A
−1 )
∗
Si A ∈ L(H), σ(A
∗ ) = σ(A).
P 6.3
Orthogonalité
H, K espaces de Hilbert, A ∈ L(H, K)
ker(A) = [Im(A
∗ )]
⊥ , Im(A) = [ker(A
∗ )]
⊥ .
P 6.4
Propriété de C
-algèbre
H espace de Hilbert, A ∈ L(H)
A
∗ A = A
2 .
P 6.5
Normalité
H, K espaces de Hilbert, A ∈ L(H, K)
[A normal] ⇔ [∀x ∈ H, Ax = A
∗ x].
P 6.6
Propriétés globales des
opérateurs normaux
H espace de Hilbert, A ∈ L(H) normal. Alors :
(i) ker(A) = ker(A
∗ ) = ker(A
2 )
(ii) ∀λ ∈ C, (A − λI) est normal
(iii) Si λ μ, ker(A − λI) ⊥ ker(A − μI)
(iv) ∀n ∈ N
∗ , A
n = A
n , r(A) = A.
P 6.7
Racine carrée
H espace de Hilbert, A ∈ L(H), A ≥ 0
A
1/2 (D 6.7) existe et est unique ; si B commute
avec A, alors B commute avec A
1/2 .
P 6.8
Décomposition polaire
maximale
H, K espaces de Hilbert, A ∈ L(H, K)
On a une variante de (D 6.9) :
D = (A
∗ A)
1/2 , A = UD, U ou U
∗ isométrie.
P 6.9
Spectre d’un auto-adjoint
(positif)
H espace de Hilbert, A ∈ L(H)
Si A = A
∗ , σ(A) ⊆ R
Si A ≥ 0, σ(A) ⊆ R
+ .
P 6.10
Calcul de la norme
H espace de Hilbert, A ∈ L(H)
A = sup{||Ax, y|; x, y ∈ H, x = y = 1}
Si A = A
∗ , A = sup{||Ax, x|; x = 1}.
P 6.11
Caractérisation de l’opérateur
nul (cas complexe)
H espace de Hilbert, A ∈ L(H)
[A = 0] ⇔ [∀x ∈ H, Ax, x = 0].
P 6.12
Caractérisation d’un
auto-adjoint
H espace de Hilbert, A ∈ L(H)
[A = A
∗ ] ⇔ [∀x ∈ H, Ax, x ∈ R].
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