6. Opérateurs continus entre espaces de Hilbert
Chapitre 6 OPÉRATEURS CONTINUS
ENTRE ESPACES DE HILBERT
D6. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 6.1
Adjoint de A, A
∗
H, K espaces de Hilbert, A ∈ L(H, K)
∀x ∈ H, ∀y ∈ K, Ax, y = x, A
∗ y.
D 6.2
A auto-adjoint, self-adjoint ou
hermitien
H espace de Hilbert, A ∈ L(H),
A = A
∗ .
D 6.3
A normal
H espace de Hilbert, A ∈ L(H),
AA
∗ = A
∗ A.
D 6.4
A unitaire
H espace de Hilbert, A ∈ L(H),
AA
∗ = A
∗ A = I.
D 6.5
A projecteur orthogonal
H espace de Hilbert, A ∈ L(H),
A
2 = A, A
∗ = A.
D 6.6
A positif, A ≥ 0
H espace de Hilbert, A ∈ L(H),
∀x ∈ H, Ax, x ≥ 0.
D 6.7
Racine carrée de A, A
1/2
H espace de Hilbert, A ∈ L(H), A ≥ 0
A
1/2 ≥ 0, [A
1/2 ]
2 = A.
D 6.8
Module de A, |A|
H, K espaces de Hilbert, A ∈ L(H, K)
|A| = (A
∗ A)
1/2 .
D 6.9
Écriture polaire de A, A = UD
H, K espaces de Hilbert, A ∈ L(H, K)
D ≥ 0, U isométrique (D 4.16) sur Im(A),
U est unique si l’on impose ker(U) = ker(A).
D 6.10
F orthogonalement réduisant
pour A
H espace de Hilbert, A ∈ L(H),
F et F
⊥ sont invariants par A.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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