Cours
P5. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 5.1
Le fameux théorème de
Pythagore
H espace préhilbertien, x, y ∈ H,
[x, y = 0] ⇒ [x + y
2 = x
2 + y
2 ].
P 5.2
Règle du parallélogramme
H espace préhilbertien, x, y ∈ H,
x + y
2 + x − y
2 = 2(x
2 + y
2 ).
P 5.3
Règle de polarisation
H espace préhilbertien, x, y ∈ H,
4x, y =
αx + αy
2 ; α = 1, −1, i, −i.
P 5.4
Inégalité de Schwarz
ou bien de Cauchy-Schwarz
H espace préhilbertien, ∀x, y ∈ H,
||x, y ≤ ≤x y
[||x, y| = x y ⇔ x et y sont colinéaires].
P 5.5
Critère d’orthogonalité
H espace préhilbertien,
[||x, y| = 0] ⇔ [∀λ ∈ C, y ≤ ≤λx + y].
P 5.6
Continuité du produit scalaire
H espace préhilbertien, l’application
{H × H → C, (x, y) → →x, y} est continue.
P 5.7
Théorème de Riesz
H espace de Hilbert,
le dual H
∗ de H est isométriquement isomorphe à
H par l’identification (antilinéaire)
{x
∗ → x, ∀y ∈ H, y, x
∗ = (y | x)}.
P 5.8
Théorème de la projection
H espace de Hilbert, M sous-ensemble de H
convexe et fermé, ∀x ∈ H, ∃y ∈ M, y unique, tel
que x − y = inf(x − z, z ∈ M).
P 5.9
Orthogonal
H espace de Hilbert, M sous-ensemble de H, M
⊥
est un sous-espace fermé de H ;
si N = Vect(M) , alors N ∩ M
⊥ = {0}.
P 5.10
Somme directe orthogonale
H espace de Hilbert,M sous-espace vectoriel de H,
(M
⊥ )
⊥ = M, H = M ⊕ M
⊥ .
P 5.11
(i) Inégalité de Bessel
(ii) Cas d’égalité dans Bessel
(iii) Identité de Parseval
H Hilbert, J = {e n ; n ∈ N
∗ } ensemble orthonormal
de H, M = Vect(J) et x ∈ H et x n = x, e n , n ∈ N
∗ .
(i)
+∞
n=1 |x n |
2 ≤ ≤x
2
(ii) [x ∈ M] ⇔ [x
2 =
+∞
n=1 |x n |
2 ]
(iii) [J est une base orthonormale] ⇔
[∀x ∈ H,
+∞
n=1 |x n |
2 = x
2 ].
P 5.12
Caractérisation des bases orthonormales
H Hilbert, J = {e n ; n ∈ N
∗ } ensemble orthonormal
de H, [J base orthonormale ] ⇔
[{∀n, x, e n = 0} ⇒ {x = 0}].
P 5.13
Structure de
2
2 , espace des suites de carré sommable.
x = (x n ; n ∈ N
∗ ) (D 1.15)
C’est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
x, y =
n=+∞
n=1 x n y n
{e n ; n ∈ N
∗ }, e n = (δ n,p , p ∈ N
∗ ) est une base
orthonormale de
2 .
P 5.14
Structure hilbertienne de
L
2 ([−π, +π])
L
2 ([−π, +π]) (D 1.16) est un espace de Hilbert pour
le produit scalaire f, g =
+π
−π
f(x)g(x)dx,
{e n ; n ∈ Z, e n (x) =
1
√
2π
exp(inx)} est une base
orthonormale.
P 5.15
Théorème de Gram-Schmidt
H espace de Hilbert, {g n ; n ∈ N
∗ }, système libre
dans H, alors ∃J = {e n ; n ∈ N
∗ }
sous-ensemble orthonormal dans H tel que
∀N ∈ N
∗ , Vect(e 1 , . . . , e N ) = Vect(g 1 , . . . , g N ).
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