5. Espace de Hilbert
Chapitre 5 ESPACE DE HILBERT
D5. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 5.1
Produit scalaire dans un
espace préhilbertien
H espace vectoriel complexe muni du produit
scalaire , application {H × H → C, (x, y) → →x, y},
vérifiant
(i) ∀x ∈ H, x, x ≥ 0
(ii) ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ C, x + λy, z = x, z + λy, z
(iii) ∀x, y ∈ H, y, x = x, y (complexe conjugué de
x, y)
(iv) [x, x = 0] ⇔ [x = 0].
D 5.2
Norme associée au produit
scalaire
x = x, x
1/2 pour H selon (D 5.1).
D 5.3
Espace de Hilbert H
Espace préhilbertien H selon (D 5.1), de Banach
(D 1.7) pour la norme associée.
D 5.4
x et y orthogonaux, x ⊥ y
H préhilbertien, x, y ∈ H, x, y = 0.
D 5.5
Sous-ensembles M et N
orthogonaux, M ⊥ N
H espace préhilbertien, M ⊂ H, N ⊂ H,
∀x ∈ M, ∀y ∈ N, x, y = 0.
D 5.6
M orthogonal, M
⊥
H espace préhilbertien, M ⊂ H,
M
⊥ = {y ∈ H ; ∀x ∈ M, x, y = 0}.
D 5.7
M et N supplémentaires
orthogonaux dans H, H = M⊕N
ou M ⊕
⊥ N somme directe
orthogonale
H est un espace de Hilbert, M et N sont deux
sous-espaces fermés de H orthogonaux entre eux,
H = M ⊕ N, on note aussi H = M ⊕
⊥ N, la norme sur
H est équivalente à celle fixée dans (D 1.12).
D 5.8
Projection orthogonale y de x
sur M, y = P M x
H espace préhilbertien, M sous-espace vectoriel
complet de H, x ∈ H
Pour H = M ⊕
⊥ N, selon (D 5.7),
x = y + z, y ∈ M, z ∈ N.
D 5.9
Ensemble orthogonal J
H espace préhilbertien, J ⊆ H,
∀x, y ∈ J, x y, on a x, y = 0.
D 5.10
Ensemble orthonormal J
(ou orthonormé)
H espace préhilbertien, J ⊆ H, J orthogonal et
∀x ∈ J, x = 1.
D 5.11
Ensemble total J
H espace de Hilbert, J ⊆ H,
Vect(J), sous-espace vectoriel fermé engendré par
J, est H entier.
D 5.12
Base orthonormale B
H espace de Hilbert, B ensemble orthonormal et
total.
D 5.13
Espace de Hilbert séparable
H espace de Hilbert,
il existe une base orthonormale B au plus
dénombrable.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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