Cours
P4. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 4.1
Norme du transposé
E, F espaces normés, A linéaire de E dans F,
[A ∈ L(E, F)] ⇔ [A
∈ L(F
∗ , E
∗ )]
A
= A.
P 4.2
Propriétés du transposé
A, B ∈ L(E, F), C ∈ L(G, E), λ ∈ C
(A + B)
= A
+ B
; (λA)
= λA
, (AC)
= C
A
.
P 4.3
Transposition et orthogonalité
E, F espaces de Banach, A ∈ L(E, F),
Im(A ) = (kerA)
⊥ .
P 4.4
Théorème de l’image fermée
E, F espaces de Banach, A ∈ L(E, F),
[ImA fermée] ⇔ Im(A
) fermée].
P 4.5
Série de Neumann
E espace de Banach, A ∈ L(E),
[A < 1] ⇒ [(I − A) inversible, (I − A)
−1 =
∞
n=0 A
n ].
P 4.6
Propriétés du spectre
E espace de Banach, A ∈ L(E),
σ(A) ⊆ {λ ∈ C ; | λ |≤ ≤A}
σ(A) est compact non vide dans C.
P 4.7
Formule du rayon spectral
(cf. D 4.7)
E espace de Banach, A ∈ L(E). Alors :
r(A) = lim n→∞ A
n
1/n .
P 4.8
Spectre du transposé
E espace vectoriel, A application linéaire de E
dans E,
σ(A) = σ(A
).
P 4.9
Noyaux itérés
(suite (N) et ascente p)
Images itérés
(suite (I) et descente q)
E espace vectoriel, A application linéaire de E
dans E,
Si ker(A
j ) = ker(A
j+1 ) alors
∀n > 0, ker(A
j ) = ker(A
j+n ),
(id Im(A
k ) (D 4.13), D 4.14)
La suite (N) est croissante, la suite (I) est
décroissante.
Si la suite (N) est constante à partir d’un indice fini
p et la suite (I) constante à partir d’un rang fini q,
alors p = q (D 4.15).
P 4.10
Ascente et descente
E espace vectoriel, A application linéaire de E dans
E d’ascente et de descentes finies valant a. Alors :
E = ker(A
a ) ⊕ Im(A
a ), et A est bijectif dans Im(A
a ).
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