4. Opérateurs continus entre espaces normés
Chapitre 4 OPÉRATEURS CONTINUS
ENTRE ESPACES NORMÉS
D4. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 4.1
B inverse à gauche de A
E, F espaces normés,
A ∈ L(E, F), B ∈ L(F, E),
BA = I, I identité de L(E).
D 4.2
C inverse à droite de A
E, F espaces normés,
A ∈ L(E, F), C ∈ L(F, E),
AC = I, I identité de L(F).
D 4.3
A inversible, inverse A
−1
E, F espaces normés, A ∈ L(E, F),
B = C = A
−1 (notations de (D 4.1) et (D 4.2)).
D 4.4
Spectre de A, σ(A)
E espace normé complexe, A ∈ L(E),
σ(A) = {λ ∈ C; (A − λI) non inversible}.
D 4.5
Ensemble résolvant de A, ρ(A)
E espace normé complexe, A ∈ L(E),
ρ(A) = {λ ∈ C ; (A − λI) inversible}.
D 4.6
Spectre ponctuel de A, σ p (A),
et valeurs propres de A
E espace normé complexe, A ∈ L(E),
λ valeur propre de A : (A − λI) non injectif ;
σ p (A) = {λ ; valeurs propres de A}.
D 4.7
Rayon spectral de A, r(A)
E espace normé complexe, A ∈ L(E),
r(A) = sup(|λ|; λ ∈ σ(A)).
D 4.8
A
adjoint de A
E, F espaces normés, A ∈ L(E, F). A
∈ L(F
∗ , E
∗ )
est tel que ∀x ∈ E, ∀f ∈ F
∗ , Ax, f = x, A
f.
D 4.9
{A}
, commutant de A
E espace normé complexe, A ∈ L(E),
{A}
= {X ∈ L(E), AX = XA}.
D 4.10
F sous-espace invariant pour A
E espace de Banach complexe, A ∈ L(E),
F sous-espace (fermé) de E, A(F) ⊂ F.
D 4.11
F sous-espace réduisant
pour A
E espace de Banach complexe, A ∈ L(E),
F sous-espace invariant pour A, F admet un
supplémentaire topologique invariant pour A.
D 4.12
A = A 1
A 2 est une somme
directe d’opérateurs
E espace de Banach complexe,
A ∈ L(E), E 1 , E 2 sous-espaces réduisants pour A,
A 1 ∈ L(E 1 ), A 2 ∈ L(E 2 ),
pour x = x 1 + x 2 , x 1 ∈ E 1 , x 2 ∈ E 2 , Ax
def
= A 1 x 1 + A 2 x 2 .
D 4.13
Suite des noyaux (N), ascente
a(A)
E espace vectoriel, A : E → E linéaire,
(N) = {ker(A
p ); p ∈ N} et
a(A) = inf{p; ker(A
p ) = ker(A
p+1 )} si cette quantité
est finie. Sinon, par convention, a(A) = +∞.
D 4.14
Suite des images (I), descente
d(A)
E espace vectoriel, A : E → E linéaire,
(I) = {Im(A
p ) ; p ∈ N}, et
d(A) = inf{p; Im(A
p ) = Im(A
p+1 )} si cette quantité
est finie. Sinon, par convention, d(A) = +∞.
D 4.15
Ascente et descente
communes de A
a(A) est la valeur commune de a(A) et d(A) si ces
deux valeurs sont finies (suites stationnaires).
D 4.16
A isométrie
E, F espaces normés, A ∈ L(E, F), ∀x ∈ E, Ax = x.
D 4.17
A projecteur (ou projection)
E espace normé, A ∈ L(E), A
2 = A.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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