Cours
N
o
Désignation
Énoncé
P 3.4
Théorème de prolongement
de Hahn-Banach, forme 3
E espace normé, M sous-espace vectoriel de E,
g ∈ E
∗ , alors ∃f ∈ E
∗ telle que g = f |M , f = g.
P 3.5
Théorème de séparation de
points
E espace normé, x, y ∈ E, x y, alors
∃f ∈ E
∗ telle que x, f y, f.
P 3.6
Séparation de l’origine
E espace normé, x ∈ E
[x = 0] ⇔ [∀f ∈ E
∗ , x, f = 0].
P 3.7
Critère pour être dans
l’adhérence
E espace normé, M sous-espace vectoriel de E,
x ∈ E, x M, alors
∃f ∈ E
∗ telle que
[x, f 0, ∀y ∈ M, y, f = 0].
P 3.8
Caractère normant d’un dual
E espace normé, x ∈ E, x 0.
Alors ∃f ∈ E
∗ avec f = 1 telle que l’on ait
x, f = x.
P 3.9
Partie normante A d’un dual
E espace normé, A ⊂ S E ∗ (0, 1) telle que :
x ∈ E ⇒ ⇒x = sup f∈A ||x, f|.
P 3.10
Hyperplan
E espace normé, [H hyperplan de E] ⇔ [∃f forme
linéaire non nulle telle que H = kerf] .
P 3.11
Dichotomie dense-fermé pour
un hyperplan
E espace normé, H = kerf = hyperplan de E ;
(i) H est fermé ou dense dans E
(ii) [H fermé]⇔ [f(P 3.10) continue].
P 3.12
Théorème de Hahn-Banach
sous forme géométrique
[E espace normé réel, G ⊂ E, G ∅, ouvert
convexe] ou [E espace normé complexe, G ⊂ E,
G ∅, ouvert convexe et équilibré], V variété
affine, V ∩ G = ∅, alors ∃H, hyperplan affine,
H ⊃ V, H ∩ G = ∅.
P 3.13
Séparation au sens large de M
et N (cas réel)
E espace normé réel, M, N convexes non vides de
E, M ouvert, M ∩ N = ∅, alors ∃f ∈ E
∗ , ∃α ∈ R
tels que
[∀y ∈ M, f(y) < α, ∀z ∈ N, f(z) ≥ α].
P 3.14
id. (cas complexe)
E espace normé réel, M, N comme en (P 3.13),
M équilibré, alors ∃f ∈ E
∗ , ∃α ∈ R, tels que
[∀y ∈ M, |f(y)| < α, ∀z ∈ N, |f(z)| ≥ α].
P 3.15
Séparation au sens strict de M
et N (cas réel)
E espace normé réel, M, N convexes non vides de
E, M fermé , N compact, M ∩ N = ∅, alors
∃f ∈ E
∗ , ∃α, β ∈ R, α < β, tels que
[∀y ∈ M, f(y) ≤ α, ∀z ∈ N, f(z) ≥ β].
P 3.16
id. (cas complexe)
E espace normé complexe, M, N comme en
(P 3.14), M équilibré, alors ∃f ∈ E
∗ , ∃α, β ∈ R, α < β,
tels que
[∀y ∈ M, |f(y)| ≤ α, ∀z ∈ N, |f(z)| ≥ β].
8