3. Théorème de Hahn-Banach, approches et applications
Chapitre 3 THÉORÈME DE HAHN-BANACH,
APPROCHES ET APPLICATIONS
D3. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 3.1
A ordonné
L’ensemble A est muni d’une relation d’ordre
(partiel).
D 3.2
B totalement ordonné
B sous-ensemble d’un ensemble A ordonné,
∀a, b ∈ B, on a a ≤ b ou b ≤ a.
D 3.3
c majorant de B
B sous-ensemble d’un ensemble A ordonné,
c ∈ A, ∀b ∈ B, b ≤ c.
D 3.4
A inductif
Tout sous-ensemble totalement ordonné de A
ordonné admet un majorant.
D 3.5
m maximal dans A ordonné
Ensemble A ordonné, m ∈ A,
[a ∈ A, m ≤ a] ⇒ [m = a].
D 3.6
Ensemble convexe M
E espace vectoriel réel, M ⊂ E, ∀x, y ∈ M, ∀t ∈
[0, 1], tx + (1 − t)y ∈ M.
D 3.7
Ensemble équilibré M
E espace vectoriel, M ⊂ E et
∀λ ∈ C tel que |λ| ≤ 1, λM ⊂ M.
D 3.8
Hyperplan H
E espace vectoriel, H sous-espace vectoriel de
codimension 1 de E .
D 3.9
Hyperplan affine K
K est le translaté de H par un vecteur x ∈ E.
D 3.10
Variété affine V
V est la translatée d’un sous-espace vectoriel de E
par un vecteur x ∈ E.
D 3.11
Forme linéaire f
E espace vectoriel sur un corps K, f application
linéaire de E dans K.
P3. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 3.1
Lemme de Zorn
Tout ensemble ordonné, inductif, non vide, admet
un élément maximal.
P 3.2
Théorème de prolongement
de Hahn-Banach, forme 1
E espace vectoriel réel, p semi-norme sur E, M
sous-espace vectoriel de E, g forme linéaire sur M
majorée par p (∀y ∈ M, g(y) ≤ p(y)), alors ∃f
linéaire sur E, prolongeant g (f |M = g) et majorée
par p(∀x ∈ E, f(x) ≤ p(x)).
P 3.3
Théorème de prolongement
de Hahn-Banach, forme 2
E espace vectoriel complexe, p semi-norme sur E,
M sous-espace de E, g forme linéaire sur M
majorée en module par p(∀y ∈ M, |g(y)| ≤ p(y)),
alors ∃f forme linéaire sur E, prolongeant
g(f |M = g) et majorée en module par
p(∀x ∈ E, |f(x)| ≤ p(x)).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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