Cours
N
o
Désignation
Énoncé
P 2.3
Théorème d’Ascoli
(ou Ascoli-Arzela)
J espace compact, C(J) espace de Banach des
fonctions continues sur J à valeurs dans C muni de
∞ . H sous-ensemble de C(J) ; H est relativement
compact si et seulement si H est équicontinu et
borné :
sup{{f ; f ∈ H} < ∞.
P 2.4
Continuité automatique
Si E est un espace normé de dimension finie et F
un espace normé, toute application linéaire de E
dans F est continue.
P 2.5
Norme d’une application
linéaire continue
Soient E, F deux espaces normés et T une
application linéaire de E dans F, [T continue ] ⇔
[∃h > 0, ∀x ∈ E, Tx ≤ hx],
T = inf{h vérifiant l’inégalité}.
P 2.6
Caractère complet de l’espace
des opérateurs
[F espace de Banach] ⇒ [L(E, F) espace de
Banach].
P 2.7
Complétude automatique
d’un dual
∀E espace normé, E
∗ est un espace de Banach.
P 2.8
Sous-espaces complémentés et
projections
E espace de Banach, M et N sous-espaces fermés
de E ;
[E = M ⊕ N] ⇔ [∃P = P
2 ∈ L(E) tel que P(M) = M
et ker(P) = N ].
P 2.9
Espace-quotient
[E espace de Banach]⇒ [E/M) espace de Banach].
P 2.10
Plongement isométrique dans
le bidual
E est plongé dans son bidual E
∗∗ selon
l’identification isométrique J : {E → E
∗∗ x → x
∗∗ },
∀y
∗ ∈ E
∗ , y
∗ , x
∗∗ = x, y
∗ .
P 2.11
Dual de
p
1 < p < ∞,
1
p +
1
q = 1 (
p )
∗ =
q , par l’identification
isométrique
x, f =
n f n x n avec f = (f n ) ∈
p .
P 2.12
Théorème de Baire
Tout espace métrique (E, d) complet est « non
maigre » ou [(E, d) complet, Ω n , n ∈ N, ouverts
denses dans E] ⇒ [∩(Ω n , n ∈ N) est dense dans
E] ou [(E, d) espace métrique complet non vide,
E = ∪E n , E n fermés ] ⇒ [∃n 0 tel que l’intérieur de
E n0 est non vide].
P 2.13
Théorème de la borne
uniforme de Banach-Steinhaus
E espace de Banach, F espace normé,
(T α ) α∈J ⊂ L(E, F), J ensemble d’indices. Alors :
[∀x ∈ E, sup{{T α x ; α ∈ J} < ∞] ⇒
[sup{{T α ; α ∈ J} < ∞].
P 2.14
Application ouverte
E, F espaces normés, T linéaire E → F, [T est
ouverte] ⇔ [L’image de tout ouvert de E est un
ouvert de F].
P 2.15
Théorème de l’application
ouverte
E, F espaces de Banach et T ∈ L(E, F).
[T surjective] ⇒ [T est une application ouverte].
P 2.16
Théorème d’isomorphisme de
Banach
E, F espaces de Banach, T ∈ L(E, F).
[T bijective]⇒ [T
−1 ∈ L(E, F) ].
P 2.17
Théorème du graphe fermé
E, F espaces de Banach, T application linéaire de E
dans F. [G(T) fermé dans E × F] ⇔ [T ∈ L(E, F)].
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Désignation
Énoncé
P 2.3
Théorème d’Ascoli
(ou Ascoli-Arzela)
J espace compact, C(J) espace de Banach des
fonctions continues sur J à valeurs dans C muni de
∞ . H sous-ensemble de C(J) ; H est relativement
compact si et seulement si H est équicontinu et
borné :
sup{{f ; f ∈ H} < ∞.
P 2.4
Continuité automatique
Si E est un espace normé de dimension finie et F
un espace normé, toute application linéaire de E
dans F est continue.
P 2.5
Norme d’une application
linéaire continue
Soient E, F deux espaces normés et T une
application linéaire de E dans F, [T continue ] ⇔
[∃h > 0, ∀x ∈ E, Tx ≤ hx],
T = inf{h vérifiant l’inégalité}.
P 2.6
Caractère complet de l’espace
des opérateurs
[F espace de Banach] ⇒ [L(E, F) espace de
Banach].
P 2.7
Complétude automatique
d’un dual
∀E espace normé, E
∗ est un espace de Banach.
P 2.8
Sous-espaces complémentés et
projections
E espace de Banach, M et N sous-espaces fermés
de E ;
[E = M ⊕ N] ⇔ [∃P = P
2 ∈ L(E) tel que P(M) = M
et ker(P) = N ].
P 2.9
Espace-quotient
[E espace de Banach]⇒ [E/M) espace de Banach].
P 2.10
Plongement isométrique dans
le bidual
E est plongé dans son bidual E
∗∗ selon
l’identification isométrique J : {E → E
∗∗ x → x
∗∗ },
∀y
∗ ∈ E
∗ , y
∗ , x
∗∗ = x, y
∗ .
P 2.11
Dual de
p
1 < p < ∞,
1
p +
1
q = 1 (
p )
∗ =
q , par l’identification
isométrique
x, f =
n f n x n avec f = (f n ) ∈
p .
P 2.12
Théorème de Baire
Tout espace métrique (E, d) complet est « non
maigre » ou [(E, d) complet, Ω n , n ∈ N, ouverts
denses dans E] ⇒ [∩(Ω n , n ∈ N) est dense dans
E] ou [(E, d) espace métrique complet non vide,
E = ∪E n , E n fermés ] ⇒ [∃n 0 tel que l’intérieur de
E n0 est non vide].
P 2.13
Théorème de la borne
uniforme de Banach-Steinhaus
E espace de Banach, F espace normé,
(T α ) α∈J ⊂ L(E, F), J ensemble d’indices. Alors :
[∀x ∈ E, sup{{T α x ; α ∈ J} < ∞] ⇒
[sup{{T α ; α ∈ J} < ∞].
P 2.14
Application ouverte
E, F espaces normés, T linéaire E → F, [T est
ouverte] ⇔ [L’image de tout ouvert de E est un
ouvert de F].
P 2.15
Théorème de l’application
ouverte
E, F espaces de Banach et T ∈ L(E, F).
[T surjective] ⇒ [T est une application ouverte].
P 2.16
Théorème d’isomorphisme de
Banach
E, F espaces de Banach, T ∈ L(E, F).
[T bijective]⇒ [T
−1 ∈ L(E, F) ].
P 2.17
Théorème du graphe fermé
E, F espaces de Banach, T application linéaire de E
dans F. [G(T) fermé dans E × F] ⇔ [T ∈ L(E, F)].
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