2. Théorèmes fondamentaux
Chapitre 2 THÉORÈMES FONDAMENTAUX
D2. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 2.1
Ensemble rare, de première
catégorie (maigre), de seconde catégorie (non maigre)
S sous-ensemble d’un espace métrique E ; S rare :
son adhérence S est d’intérieur vide ;
S de première catégorie : réunion dénombrable
d’ensembles rares ;
S de seconde catégorie : il n’est pas de première
catégorie.
D 2.2
Ensemble équicontinu
J espace compact, C(J) espace de
Banach des fonctions continues sur J à valeurs
dans C muni de ∞ , et H sous-ensemble de C(J).
H équicontinu : ∀ε > 0, ∀x ∈ J, il existe un voisinage
V de x tel que, ∀y ∈ V, ∀f ∈ H, |f(x) − f(y)| ≤ ε.
D 2.3
Opérateur T : E → F, ker(T),
Im(T), noyau et image de T
T application linéaire définie sur E, à valeurs
dans F
ker(T) = {x ∈ E ; Tx = 0}
Im(T) = {Tx ; x ∈ E}.
D 2.4
Opérateur borné T
Application linéaire continue T définie sur E, à
valeurs dans F.
D 2.5
Norme de T, T,
L(E, F), L(E),
sous-multiplicativité
Pour T selon (D 2.4),
T = sup{{Tx F ; x E = 1},
L(E, F) , espace des opérateurs vérifiant (D 2.4)
muni de la norme ci-dessus.
L(E) = L(E, E).
On a AC ≤ ≤AC.
D 2.6
Application ouverte
E, F espaces normés, T linéaire de E dans F telle
que : ∃δ > 0 ; B F (0, δ) ⊂ T[B E (0, 1)].
D 2.7
Application presque
ouverte
E, F espaces normés, T linéaire de E dans F telle
que : ∃δ > 0 ; B F (0, δ) ⊂ T[B E (0, 1)].
D 2.8
Graphe de T, G(T)
G(T) = {(x, Tx) ; x ∈ E} ⊂ E × F.
D 2.9
E
∗ , espace dual de E
E
∗∗ , bidual de E
E
∗ est l’espace des formes linéaires continues sur
E on note, pour f ∈ E
∗ , f(x) = x, f, E
∗∗ = (E
∗ )
∗ .
D 2.10
Orthogonal ou polaire
de G, G
⊥
E espace normé, G ⊆ E,
G
⊥ = {f ∈ E
∗ ; ∀x ∈ G, x, f = 0}.
P2. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 2.1
Caractérisation des
Banach
Un espace normé E est de Banach ssi toute série
de E absolument convergente est convergente.
P 2.2
Théorème de Riesz (Frédéric)
E espace normé, la boule unité fermée de E est
compacte si et seulement si la dimension de E est
finie.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
5
Chapitre 2 THÉORÈMES FONDAMENTAUX
D2. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 2.1
Ensemble rare, de première
catégorie (maigre), de seconde catégorie (non maigre)
S sous-ensemble d’un espace métrique E ; S rare :
son adhérence S est d’intérieur vide ;
S de première catégorie : réunion dénombrable
d’ensembles rares ;
S de seconde catégorie : il n’est pas de première
catégorie.
D 2.2
Ensemble équicontinu
J espace compact, C(J) espace de
Banach des fonctions continues sur J à valeurs
dans C muni de ∞ , et H sous-ensemble de C(J).
H équicontinu : ∀ε > 0, ∀x ∈ J, il existe un voisinage
V de x tel que, ∀y ∈ V, ∀f ∈ H, |f(x) − f(y)| ≤ ε.
D 2.3
Opérateur T : E → F, ker(T),
Im(T), noyau et image de T
T application linéaire définie sur E, à valeurs
dans F
ker(T) = {x ∈ E ; Tx = 0}
Im(T) = {Tx ; x ∈ E}.
D 2.4
Opérateur borné T
Application linéaire continue T définie sur E, à
valeurs dans F.
D 2.5
Norme de T, T,
L(E, F), L(E),
sous-multiplicativité
Pour T selon (D 2.4),
T = sup{{Tx F ; x E = 1},
L(E, F) , espace des opérateurs vérifiant (D 2.4)
muni de la norme ci-dessus.
L(E) = L(E, E).
On a AC ≤ ≤AC.
D 2.6
Application ouverte
E, F espaces normés, T linéaire de E dans F telle
que : ∃δ > 0 ; B F (0, δ) ⊂ T[B E (0, 1)].
D 2.7
Application presque
ouverte
E, F espaces normés, T linéaire de E dans F telle
que : ∃δ > 0 ; B F (0, δ) ⊂ T[B E (0, 1)].
D 2.8
Graphe de T, G(T)
G(T) = {(x, Tx) ; x ∈ E} ⊂ E × F.
D 2.9
E
∗ , espace dual de E
E
∗∗ , bidual de E
E
∗ est l’espace des formes linéaires continues sur
E on note, pour f ∈ E
∗ , f(x) = x, f, E
∗∗ = (E
∗ )
∗ .
D 2.10
Orthogonal ou polaire
de G, G
⊥
E espace normé, G ⊆ E,
G
⊥ = {f ∈ E
∗ ; ∀x ∈ G, x, f = 0}.
P2. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 2.1
Caractérisation des
Banach
Un espace normé E est de Banach ssi toute série
de E absolument convergente est convergente.
P 2.2
Théorème de Riesz (Frédéric)
E espace normé, la boule unité fermée de E est
compacte si et seulement si la dimension de E est
finie.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
5