Cours
N
o
Notion définie
Définition
D 1.16
Espaces L
p (J)
J = [a, b], intervalle de R, L
p (J) = {f, classes
1
de fonctions complexes Lebesgue-mesurables sur
J ; |f|
p soit intégrable}, f p = (
b
a
| f |
p dt)
1/p .
D 1.17
Espaces L
∞ (J)
J = [a, b], intervalle de R, L
∞ (J) = {f ∈ classes
1 de
fonctions complexes Lebesgue mesurables
bornées sur J}, f ∞ = sup(|f(x)| ; x ∈ J) (au sens des
classes).
P1. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 1.1
Complétude automatique
Tout espace normé E de dimension finie est un
espace de Banach.
P 1.2
Somme vectorielle de
sous-espaces fermés
M, N sous-espaces d’un espace de Banach E
[M sous-espace fermé, N de dimension finie]
⇒ [M + N fermé]
Si M ∩ N = {0}, M + N = M ⊕ N.
P 1.3
Norme-quotient
E normé, M sous-espace fermé de E, alors E/M est
un espace normé.
Pour [x] ∈ E/M,
[x] = inf{{x ; x ∈ [x]} est une norme telle que
[x] ≤ ≤x.
P 1.4
Inégalité de Minkowski finie
Soit 1 < p < ∞, (x n ) n∈N ∗ et (y n ) n∈N ∗ deux suites dans
C. N ∈ N
∗ =⇒ (
N
n=1 |x n + y n |
p )
1/p
≤ (
N
n=1 |x n |
p )
1/p + (
N
n=1 |y n |
p )
1/p .
P 1.5
Inégalité de Hölder finie
Soit 1 < p, q < ∞ avec
1
p +
1
q = 1, (x n ) n∈N ∗ et (y n ) n∈N ∗
deux suites dans C. N ∈ N
∗ =⇒
N
n=1 |x n y n | ≤
≤ (
N
n=1 |x n |
q )
1/q (
N
n=1 |y n |
p )
1/p .
P 1.6
Inégalités de Minkowski
Soit 1 < p < ∞, ∀x, y ∈
p ,
x + y p ≤ ≤x p + y p ,
∀f, g ∈ L
p ,
f + g p ≤ ≤f p + g p .
P 1.7
Inégalités de Hölder
Soit 1 < p, q < ∞ avec
1
p +
1
q = 1,
∀x ∈
p , ∀y ∈
q ,
∞
n=1 |xy| ≤ ≤x p y q
∀f ∈ L
p , ∀g ∈ L
q
|f(x)g(x)|dx ≤ ≤f p g q .
P 1.8
Complétude des espaces de
Lebesgue
Les espaces
p , L
p sont des espaces de Banach.
P 1.9
Complétude de la somme
directe de deux espaces de
Banach
[E, F espaces de Banach] ⇒ [E
F espace de
Banach].
1. Dans l’écriture d’un élément de L p (J), p fini ou infini, on utilise souvent un représentant de la classe d’un élément
f sans changer de notation. Le choix du représentant n’influe pas sur la norme.
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N
o
Notion définie
Définition
D 1.16
Espaces L
p (J)
J = [a, b], intervalle de R, L
p (J) = {f, classes
1
de fonctions complexes Lebesgue-mesurables sur
J ; |f|
p soit intégrable}, f p = (
b
a
| f |
p dt)
1/p .
D 1.17
Espaces L
∞ (J)
J = [a, b], intervalle de R, L
∞ (J) = {f ∈ classes
1 de
fonctions complexes Lebesgue mesurables
bornées sur J}, f ∞ = sup(|f(x)| ; x ∈ J) (au sens des
classes).
P1. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 1.1
Complétude automatique
Tout espace normé E de dimension finie est un
espace de Banach.
P 1.2
Somme vectorielle de
sous-espaces fermés
M, N sous-espaces d’un espace de Banach E
[M sous-espace fermé, N de dimension finie]
⇒ [M + N fermé]
Si M ∩ N = {0}, M + N = M ⊕ N.
P 1.3
Norme-quotient
E normé, M sous-espace fermé de E, alors E/M est
un espace normé.
Pour [x] ∈ E/M,
[x] = inf{{x ; x ∈ [x]} est une norme telle que
[x] ≤ ≤x.
P 1.4
Inégalité de Minkowski finie
Soit 1 < p < ∞, (x n ) n∈N ∗ et (y n ) n∈N ∗ deux suites dans
C. N ∈ N
∗ =⇒ (
N
n=1 |x n + y n |
p )
1/p
≤ (
N
n=1 |x n |
p )
1/p + (
N
n=1 |y n |
p )
1/p .
P 1.5
Inégalité de Hölder finie
Soit 1 < p, q < ∞ avec
1
p +
1
q = 1, (x n ) n∈N ∗ et (y n ) n∈N ∗
deux suites dans C. N ∈ N
∗ =⇒
N
n=1 |x n y n | ≤
≤ (
N
n=1 |x n |
q )
1/q (
N
n=1 |y n |
p )
1/p .
P 1.6
Inégalités de Minkowski
Soit 1 < p < ∞, ∀x, y ∈
p ,
x + y p ≤ ≤x p + y p ,
∀f, g ∈ L
p ,
f + g p ≤ ≤f p + g p .
P 1.7
Inégalités de Hölder
Soit 1 < p, q < ∞ avec
1
p +
1
q = 1,
∀x ∈
p , ∀y ∈
q ,
∞
n=1 |xy| ≤ ≤x p y q
∀f ∈ L
p , ∀g ∈ L
q
|f(x)g(x)|dx ≤ ≤f p g q .
P 1.8
Complétude des espaces de
Lebesgue
Les espaces
p , L
p sont des espaces de Banach.
P 1.9
Complétude de la somme
directe de deux espaces de
Banach
[E, F espaces de Banach] ⇒ [E
F espace de
Banach].
1. Dans l’écriture d’un élément de L p (J), p fini ou infini, on utilise souvent un représentant de la classe d’un élément
f sans changer de notation. Le choix du représentant n’influe pas sur la norme.
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