1. Espaces normés
Chapitre 1 ESPACES NORMÉS
D1. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 1.1
Semi-norme p
Appplication p : E → R
+ , E espace vectoriel sur K,
vérifiant
(i) ∀x, y ∈ E, p(x + y) ≤ p(x) + p(y)
(ii) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, p(λx) =| λ | p(x).
D 1.2
Norme p ou
Semi-norme telle que [p(x) = 0] ⇒ [x = 0].
D 1.3
Espace normé (E, p) ou (E, )
Couple (E, p) formé de l’espace vectoriel E et de la
norme p sur E.
D 1.4
Boule ouverte de centre x 0 et
rayon r dans E, B E (x 0 , r)
B E (x 0 , r) = {x ∈ E ; x − x 0 < r}.
D 1.5
Boule fermée de centre x 0 et
rayon r dans E, B E (x 0 , r),
B E (x 0 , r) = {x ∈ E ; x − x 0 ≤ r}.
D 1.6
Sphère de centre x 0 et rayon r
dans E, S E (x 0 , r)
S E (x 0 , r) = {x ∈ E ; x − x 0 = r}.
D 1.7
Espace de Banach
Espace normé complet pour la distance
d(x, y) = x − y.
D 1.8
Suite convergente en norme
x n , x ∈ E, lim n→∞ x n − x = 0, x est la limite de la
suite.
D 1.9
Suite de Cauchy dans E, (x n ) n∈N ∗
x n , n ∈ N
∗ , vecteurs de E.
∀ε > 0, ∃N ε ; n, p ≥ N ε ⇒ ⇒x n − x p ≤ ε.
D 1.10
Série convergente notée
u =
∞
n=1 u n
E espace normé, u n ∈ E, la suite de terme général
x n =
n
p=1 u p est une suite convergente vers
u ∈ E, u est la somme de la série.
D 1.11
Série absolument convergente
dans un espace normé
E espace normé, u n ∈ E, la série de terme général
u n est convergente.
D 1.12
Somme directe ou produit
direct E ⊕ F, E × F
E, F espaces normés, G = E × F ou E ⊕ F, G = {(x, y) ;
x ∈ E, y ∈ F}, (x, y) + λ(x
, y
) = (x + λx
, y + λy
),
(x, y) = max(x, y) (ou norme équivalente).
D 1.13
Supplémentaires topologiques
M, N dans E, E = M ⊕ N
E espace de Banach, M, N sous-espaces fermés de
E, M ∩ N = {0}, E = M + N (∀x ∈ E, ∃y ∈ M, z ∈ N ;
x = y + z).
D 1.14
Espace-quotient E/M, [x] ou x
E espace normé, M sous-espace fermé de E,
vecteur [x] de E/M :
[x] = {x + y ; y ∈ M},
[x + λx
] = [x] + λ[x
]
[x] = inf{{x + y ; y ∈ M}.
D 1.15
Espaces
p ,
1 ≤ p ≤ ∞
Éléments : des suites complexes x = (x n ) n∈N ∗ ,
opération + et λ× usuelles. Éléments et norme :
p < ∞ : u p =
∞
n=1 |x n |
p < ∞, x p = (u p )
1/p .
p = ∞ : x ∞ = sup(|x n | ; n ∈ N
∗ ) < ∞.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 1 ESPACES NORMÉS
D1. Définitions
N
o
Notion définie
Définition
D 1.1
Semi-norme p
Appplication p : E → R
+ , E espace vectoriel sur K,
vérifiant
(i) ∀x, y ∈ E, p(x + y) ≤ p(x) + p(y)
(ii) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, p(λx) =| λ | p(x).
D 1.2
Norme p ou
Semi-norme telle que [p(x) = 0] ⇒ [x = 0].
D 1.3
Espace normé (E, p) ou (E, )
Couple (E, p) formé de l’espace vectoriel E et de la
norme p sur E.
D 1.4
Boule ouverte de centre x 0 et
rayon r dans E, B E (x 0 , r)
B E (x 0 , r) = {x ∈ E ; x − x 0 < r}.
D 1.5
Boule fermée de centre x 0 et
rayon r dans E, B E (x 0 , r),
B E (x 0 , r) = {x ∈ E ; x − x 0 ≤ r}.
D 1.6
Sphère de centre x 0 et rayon r
dans E, S E (x 0 , r)
S E (x 0 , r) = {x ∈ E ; x − x 0 = r}.
D 1.7
Espace de Banach
Espace normé complet pour la distance
d(x, y) = x − y.
D 1.8
Suite convergente en norme
x n , x ∈ E, lim n→∞ x n − x = 0, x est la limite de la
suite.
D 1.9
Suite de Cauchy dans E, (x n ) n∈N ∗
x n , n ∈ N
∗ , vecteurs de E.
∀ε > 0, ∃N ε ; n, p ≥ N ε ⇒ ⇒x n − x p ≤ ε.
D 1.10
Série convergente notée
u =
∞
n=1 u n
E espace normé, u n ∈ E, la suite de terme général
x n =
n
p=1 u p est une suite convergente vers
u ∈ E, u est la somme de la série.
D 1.11
Série absolument convergente
dans un espace normé
E espace normé, u n ∈ E, la série de terme général
u n est convergente.
D 1.12
Somme directe ou produit
direct E ⊕ F, E × F
E, F espaces normés, G = E × F ou E ⊕ F, G = {(x, y) ;
x ∈ E, y ∈ F}, (x, y) + λ(x
, y
) = (x + λx
, y + λy
),
(x, y) = max(x, y) (ou norme équivalente).
D 1.13
Supplémentaires topologiques
M, N dans E, E = M ⊕ N
E espace de Banach, M, N sous-espaces fermés de
E, M ∩ N = {0}, E = M + N (∀x ∈ E, ∃y ∈ M, z ∈ N ;
x = y + z).
D 1.14
Espace-quotient E/M, [x] ou x
E espace normé, M sous-espace fermé de E,
vecteur [x] de E/M :
[x] = {x + y ; y ∈ M},
[x + λx
] = [x] + λ[x
]
[x] = inf{{x + y ; y ∈ M}.
D 1.15
Espaces
p ,
1 ≤ p ≤ ∞
Éléments : des suites complexes x = (x n ) n∈N ∗ ,
opération + et λ× usuelles. Éléments et norme :
p < ∞ : u p =
∞
n=1 |x n |
p < ∞, x p = (u p )
1/p .
p = ∞ : x ∞ = sup(|x n | ; n ∈ N
∗ ) < ∞.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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