10. Algèbres de Banach
P10. Propriétés
N
o
Désignation
Énoncé
P 10.1
Propriétés de la série de
Neumann
A algèbre de Banach, a ∈ A,
(i) La série de Neumann (D 10.7) converge vers
(a − λe)
−1 pour |λ| > lim n→+∞ (a
n )
1/n )
(ii) (e − a) est inversible dès que a < 1 et
(e − a)
−1 =
+∞
n=0 a
n .
P 10.2
Ensemble des inversibles
A algèbre de Banach,
l’ensemble des éléments inversibles de A est un
ouvert de A.
P 10.3
Spectre et formule du rayon
spectral
A algèbre de Banach, a ∈ A.
(i) σ(a) est compact non vide dans C
(ii) r(a) = lim n→+∞ (a
n )
1/n ) ≤ ≤a.
P 10.4
A/B selon (D 10.2) est une algèbre de Banach.
P 10.5
Calcul fonctionnel
holomorphe
A algèbre de Banach, a ∈ A,
Ω(a) est associé à Ω selon (D 10.8). L’ensemble
H(Ω) des fonctions analytiques sur Ω est muni de
sa topologie usuelle.
(i) l’application {H(Ω) → A, f → f(a)} est un
homomorphisme d’algèbres continu ;
(ii) H(Ω) est une algèbre commutative ;
(iii) pour f p (z) = z
p , p ∈ N, f p (a) = a
p .
P 10.6
Théorème de l’image spectrale
Pour f selon (D 10.8), on a
σ[f(a)] = f[σ(a)] = {f(λ); λ ∈ σ(a)}.
P 10.7
Spectre relatif à une
sous-algèbre
A algèbre de Banach, B sous-algèbre fermée de
A, commutative et maximale (il n’existe pas de
sous-algèbre fermée commutative plus grande),
a ∈ B, alors σ B (a) = σ A (a).
P 10.8
Spectre de l’adjoint dans une
C
-algèbre
A une C
-algèbre, a ∈ A, alors
(i) a
∗ = a
(ii) σ(a
∗ ) = σ(a).
P 10.9
Spectre d’un unitaire dans une
C
-algèbre
A une C
-algèbre, a ∈ A unitaire. Alors
σ(a) ⊆ {λ ∈ C; |λ| = 1}.
P 10.10
Norme d’un élément normal
A une C
-algèbre, a ∈ A normal. Alors r(a) = a.
P 10.11
Spectre d’un auto-adjoint
A une C
-algèbre, a ∈ A auto-adjoint. Alors
σ(a) ⊆ R.
P 10.12
Algèbre des opérateurs
Si E est un espace de Banach, L(E) est une algèbre
de Banach.
P 10.13
Partition du spectre et calcul
fonctionnel
E espace de Banach, A ∈ L(E), σ(A) = M ∪ N, union
de deux fermés disjoints, alors f donnée au
voisinage de σ(A) par
[∀z ∈ M, f(z) = 0; ∀z ∈ N, f(z) = 1]
définit un opérateur f(A), projecteur tel que f(A)E
et (I − f(A))E) sont invariants par A.
P 10.14
Algèbre des opérateurs sur un
Hilbert
Si H est un espace de Hilbert, L(H) est une
C
-algèbre.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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