Chapitre X • Algèbres de Banach
On a f = P − Q = P(1 −
Q
P ), et puisque
Q
P ∞ ≤
1
2 , on peut écrire une série de Neumann :
1
f
=
1
P − Q
=
1
P(1 −
Q
P )
=
1
P
∞
n=0
Q
n
P n =
∞
n=1
Q
n−1
P n .
(X.15)
Montrons que cette dernière série est absolument convergente dans W. En effet,
Q
n−1
P n
W
≤
Q
n−1
W
1
P n
W
≤
Q
n−1
W
1
P n
∞
+ 2
nP
P n+1
∞
≤
1
3
n−1 ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
3
2
n
+ 2nP
∞
3
2
n+1 ⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = O
n
2 n
,
où l’on a utilisé la question (2). La série (X.15) converge donc dans W vers une fonction
h ∈ W. A fortiori, elle converge simplement vers h. Mais cette série converge aussi
simplement vers
1
f . Par unicité de la limite, on obtient
1
f = h, donc
1
f ∈ W.
Cette preuve du lemme de Wiener qui n’utilise pas la théorie de Gelfand des algèbres
de Banach, mais seulement une variante du lemme de Neumann et les vertus de la série
géométrique, est due au mathématicien américain Donald Newman (1975).
264
On a f = P − Q = P(1 −
Q
P ), et puisque
Q
P ∞ ≤
1
2 , on peut écrire une série de Neumann :
1
f
=
1
P − Q
=
1
P(1 −
Q
P )
=
1
P
∞
n=0
Q
n
P n =
∞
n=1
Q
n−1
P n .
(X.15)
Montrons que cette dernière série est absolument convergente dans W. En effet,
Q
n−1
P n
W
≤
Q
n−1
W
1
P n
W
≤
Q
n−1
W
1
P n
∞
+ 2
nP
P n+1
∞
≤
1
3
n−1 ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
3
2
n
+ 2nP
∞
3
2
n+1 ⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = O
n
2 n
,
où l’on a utilisé la question (2). La série (X.15) converge donc dans W vers une fonction
h ∈ W. A fortiori, elle converge simplement vers h. Mais cette série converge aussi
simplement vers
1
f . Par unicité de la limite, on obtient
1
f = h, donc
1
f ∈ W.
Cette preuve du lemme de Wiener qui n’utilise pas la théorie de Gelfand des algèbres
de Banach, mais seulement une variante du lemme de Neumann et les vertus de la série
géométrique, est due au mathématicien américain Donald Newman (1975).
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