2. Solutions
soit en posant n = k + m,
h(t) =
+∞
n=−∞
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
+∞
k=−∞
f k g n−k
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ exp(int) =
+∞
n=−∞
h n exp(int)
avec h n =
+∞
k=−∞ f k g n−k et l’on a de plus
+∞
n=−∞
|h n | =
+∞
n=−∞
|
+∞
k=−∞
f k g n−k | ≤
+∞
n=−∞
+∞
k=−∞
| f k | |g n−k |
=
+∞
k=−∞
| f k |
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
+∞
n=−∞
|g n−k |
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
+∞
k=−∞
| f k |
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
+∞
n=−∞
|g n |
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ,
soit f g W ≤ ≤f W g W . W est bien une algèbre de Banach. On observera que
ϕ : W →
1 (Z) est aussi un isomorphisme d’algèbre, puisque
ϕ( f g) = ϕ( f ) ϕ(g) ∀ f, g ∈ W.
(2) Soit g ∈ W de classe C
1 ,
g(t) =
+∞
n=−∞
g n exp(int) avec g n =
1
2π
2π
0
g(t) exp(−int)dt.
Une intégration par parties donne
1
2π
2π
0
g
(t) exp(−int)dt = ing n . Ensuite, en utilisant
l’inégalité de Cauchy-Schwarz et la relation de Parseval, on obtient
n0
|g n | =
n0
|ng n |
1
|n|
≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
n0
n
2
|g n |
2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1
2
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
n0
1
n 2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1
2
=
π
√
3
g
2 ≤ 2g
∞ .
D’où
g W = |g 0 | +
n0
|g n | ≤ |g 0 | + 2g
∞ ≤ ≤g ∞ + 2g
∞ .
(3) Supposons que f ∈ W, avec f (t) 0 ∀t ∈ R. Sans perte de généralité on peut
supposer que | f (t)| ≥ 1 ∀t ∈ R.
Écrivons f = P − Q avec
P(t) =
N
n=−N
f n exp(int), Q(t) = −
|n|>N
f n exp(int),
où l’entier N est choisi pour avoir Q W ≤
1
3 et a fortiori Q ∞ ≤
1
3 . Alors on a
|P(t)| = | f (t) + Q(t)| ≥ | f (t)| − |Q(t)| ≥ 1 −
1
3 =
2
3 . Donc
1
P ∞ ≤
3
2 .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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