Chapitre X • Algèbres de Banach
(ii) Supposons que v est une isométrie partielle. Puisque vv
∗ est un projecteur, on a
exp(−tvv
∗ ) = e − vv
∗
+ exp(−t)vv
∗ et par suite exp(−tvv
∗ )v = exp(−t)v.
Il en résulte que
∞
0
exp(−tvv
∗ )vdt =
∞
0
exp(−t)dt
v = v.
Réciproquement, supposons cette relation vérifiée, et posons A(t) =
t
0
exp(−svv
∗ )vds.
Alors :
A(t)v
∗
=
t
0
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
n≥0
(−1)
n (vv
∗ )
n
vv
∗ s
n
n!
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ds =
n≥0
(−1)
n (vv
∗ )
n
vv
∗
t
0
s
n
n!
ds
=
n≥0
(−1)
n t
n+1
(n + 1)!
(vv
∗ )
n+1
= −
n≥1
(−1)
n t
n
n!
(vv
∗ )
n
= e − exp(−tvv
∗ ),
d’où
v
∗ A(t)v
∗
= −v
∗ exp(−tvv
∗ ) + v
∗
.
Maintenant, nous voyons que
v
∗ exp(−tvv
∗ )
2
=
v
∗ exp(−tvv
∗ )
∗ v
∗ exp(−tvv
∗ )
= vv
∗ exp(−2tvv
∗ ),
et (i) montre que le dernier terme tend vers 0, d’où lim t→+∞ v
∗ exp(−tvv
∗ ) = 0. Finalement, v
∗ A(t)v
∗
→ v
∗ quand t → +∞. Comme d’autre part A(t) → v par hypothèse, on a
aussi v
∗ A(t)v
∗
→ v
∗
vv
∗ . L’unicité de la limite donne v
∗
vv
∗
= v
∗ et donc vv
∗
v = v.
Exercice X.20
(1) L’application ϕ : W →
1 (Z) obtenue en posant ϕ( f ) = ( f n ) n∈Z est bien définie, linéaire, et par définition de la norme dans W, c’est une isométrie. De plus, si
(a n ) n∈Z ∈
1 (Z), la série
+∞
n=−∞ a n exp(int) est uniformément (car normalement) convergente sur R, donc la fonction f (t) =
+∞
n=−∞ a n exp(int) appartient à W et ϕ( f ) = (a n ) n∈Z .
Ainsi, ϕ est une isométrie surjective et par suite W est isométriquement isomorphe à
1 (Z) (cf. D 1.15).
Ceci montre que W est un espace de Banach. Il reste à montrer que W est stable par
produit ponctuel. Soit pour cela f, g ∈ W, avec
f (t) =
+∞
n=−∞
f n exp(int) et g(t) =
+∞
n=−∞
g n exp(int).
Puisque les deux séries sont absolument convergentes, on a
h(t)
de f
= f (t)g(t) =
+∞
k=−∞
+∞
m=−∞
f k g m exp(i(k + m)t),
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