2. Solutions
(b) Supposons que la dimension de H est finie et que B A = {A}
.
Montrons alors que σ(A) est réduit à un point. Soit de nouveau u ⊗ v ∈ K(H) l’opérateur
de rang un défini par u ⊗ v(x) = x, vu. Si λ, μ ∈ σ(A) sont tels que Au = λu et A
∗
v = μv
avec u, v 0 et |λ| ≤ |μ|, nous avons
A
n (u ⊗ v)A
−n
= A
n u ⊗ A
∗−n
v = λ
n u ⊗ μ
−n
v =
λ
μ
n
u ⊗ v = O(1).
D’après l’hypothèse, u ⊗ v commute avec A. Ceci implique que λ = μ. En effet :
A(u ⊗ v) = Au ⊗ v = λ(u ⊗ v) et (u ⊗ v)A = u ⊗ A
∗
v = u ⊗ μv = μ(u ⊗ v).
Par conséquent, le spectre de A inversible est réduit à un point et donc il existe α 0 tel
que A = αI + N avec N nilpotent.
(3) Les implications (iii) ⇒ (i) ⇒ (ii) sont évidentes via (1).
Montrons que (ii) ⇒ (iii). Considérons T n (X) = A
n XA
−n
, X ∈ B A et n ≥ 0.
Par hypothèse, K(H) ⊆ B A : la suite T n : K(H) → K(H) vérifie
sup
n∈N
T n (K) = sup
n∈N
A
n KA
−n
< ∞, ∀K ∈ K(H).
Puisque K(H) est un espace de Banach, le théorème de Banach-Steinhaus nous donne
sup n∈N T n = M < ∞.
Pour tout couple (u, v) de vecteurs normés, on a, en utilisant les relations faciles à vérifier
et déjà utilisées (cf. Ex. X.16 et P 7.8, P 7.10) :
P(u ⊗ v)Q = Pu ⊗ Q
∗
v et a ⊗ b = a b,
l’inégalité
M ≥ ≥T n (u ⊗ v) = A
n u ⊗ A
∗−n
v = A
n u A
∗−n
v.
Il en résulte que A
n
A
−n
≤ M ∀n ≥ 0, en prenant le sup sur les couples (u, v). Puis, en
prenant les racines n-ièmes : A
n
1
n A
−n
1
n ≤ M
1
n , et par passage à la limite, on obtient
r(A)r(A
−1 ) ≤ 1. Mais on a toujours 1 ≤ r(A)r(A
−1 ), puisque
1 = A
n A
−n
≤ ≤A
n
A
−n
∀n ≥ 0.
D’où r(A)r(A
−1 ) = 1. Posons maintenant α = r(A) : l’opérateur A 1 =
1
α A a son spectre
dans le cercle unité ainsi que A
−1
1 , et on a donc
min(A
n
1 , A
−n
1 ) ≥ 1, ∀n ∈ N.
Il en résulte que
n ∈ Z =⇒ ⇒A
n
1 ≤ ≤A
|n|
1 A
−|n|
1 = A
|n|
A
−|n|
≤ M.
D’après l’Ex. V.11 (théorème de Nagy), l’opérateur A 1 est semblable à un opérateur
unitaire U, soit A 1 = WUW
−1 et finalement A = αWUW
−1 .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
259
(b) Supposons que la dimension de H est finie et que B A = {A}
.
Montrons alors que σ(A) est réduit à un point. Soit de nouveau u ⊗ v ∈ K(H) l’opérateur
de rang un défini par u ⊗ v(x) = x, vu. Si λ, μ ∈ σ(A) sont tels que Au = λu et A
∗
v = μv
avec u, v 0 et |λ| ≤ |μ|, nous avons
A
n (u ⊗ v)A
−n
= A
n u ⊗ A
∗−n
v = λ
n u ⊗ μ
−n
v =
λ
μ
n
u ⊗ v = O(1).
D’après l’hypothèse, u ⊗ v commute avec A. Ceci implique que λ = μ. En effet :
A(u ⊗ v) = Au ⊗ v = λ(u ⊗ v) et (u ⊗ v)A = u ⊗ A
∗
v = u ⊗ μv = μ(u ⊗ v).
Par conséquent, le spectre de A inversible est réduit à un point et donc il existe α 0 tel
que A = αI + N avec N nilpotent.
(3) Les implications (iii) ⇒ (i) ⇒ (ii) sont évidentes via (1).
Montrons que (ii) ⇒ (iii). Considérons T n (X) = A
n XA
−n
, X ∈ B A et n ≥ 0.
Par hypothèse, K(H) ⊆ B A : la suite T n : K(H) → K(H) vérifie
sup
n∈N
T n (K) = sup
n∈N
A
n KA
−n
< ∞, ∀K ∈ K(H).
Puisque K(H) est un espace de Banach, le théorème de Banach-Steinhaus nous donne
sup n∈N T n = M < ∞.
Pour tout couple (u, v) de vecteurs normés, on a, en utilisant les relations faciles à vérifier
et déjà utilisées (cf. Ex. X.16 et P 7.8, P 7.10) :
P(u ⊗ v)Q = Pu ⊗ Q
∗
v et a ⊗ b = a b,
l’inégalité
M ≥ ≥T n (u ⊗ v) = A
n u ⊗ A
∗−n
v = A
n u A
∗−n
v.
Il en résulte que A
n
A
−n
≤ M ∀n ≥ 0, en prenant le sup sur les couples (u, v). Puis, en
prenant les racines n-ièmes : A
n
1
n A
−n
1
n ≤ M
1
n , et par passage à la limite, on obtient
r(A)r(A
−1 ) ≤ 1. Mais on a toujours 1 ≤ r(A)r(A
−1 ), puisque
1 = A
n A
−n
≤ ≤A
n
A
−n
∀n ≥ 0.
D’où r(A)r(A
−1 ) = 1. Posons maintenant α = r(A) : l’opérateur A 1 =
1
α A a son spectre
dans le cercle unité ainsi que A
−1
1 , et on a donc
min(A
n
1 , A
−n
1 ) ≥ 1, ∀n ∈ N.
Il en résulte que
n ∈ Z =⇒ ⇒A
n
1 ≤ ≤A
|n|
1 A
−|n|
1 = A
|n|
A
−|n|
≤ M.
D’après l’Ex. V.11 (théorème de Nagy), l’opérateur A 1 est semblable à un opérateur
unitaire U, soit A 1 = WUW
−1 et finalement A = αWUW
−1 .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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