Chapitre X • Algèbres de Banach
Exercice X.18
(1) Posons b = exp(a − a
∗ ). Puisque a et a
∗ commutent, nous avons
b
∗ b = exp(a
∗
− a) exp(a − a
∗ ) = exp((a
∗
− a) + (a − a
∗ )) = exp(0) = e
et de même bb
∗
= e, donc b est unitaire.
(2) On voit par récurrence que nc = cm ⇒ n
p c = cm
p
∀p ∈ N, puis que
P(n)c = cP(m) pour tout polynôme P. Puisque, pour chaque z ∈ C, exp(zn) et exp(zm)
sont des limites dans A de polynômes en n et m, respectivement, on a également
exp(zn)c = c exp(zm), ∀z ∈ C.
(X.12)
On vise maintenant la relation exp(zn
∗ )c = c exp(zm
∗ ) ∀z ∈ C, ou encore
exp(−zn
∗ )c exp(zm
∗ ) = c, ce qu’on obtiendra si on prouve que la fonction entière
ϕ(z) = f (exp(−zn
∗ )c exp(zm
∗ )) est constante pour toute f ∈ A
∗ fixée. Pour cela, on
remarque d’abord que
exp(−zn
∗ )c exp(zm
∗ ) = exp(−zn
∗ ) exp(zn)c exp(−zm) exp(zm
∗ ).
(X.13)
exp(−zn
∗ )c exp(zm
∗ ) = exp(−zn
∗
+ zn)c exp(−zm + zm
∗ ).
(X.14)
En effet, (X.13) découle de (X.12) puisque
exp(zn)c exp(−zm) = c exp(zm) exp(−zm) = c.
Et (X.14) découle de (X.13) et de la normalité de n et m, qui entraîne (rappelons que
exp(a + b) = exp(a) exp(b) dès que a et b commutent)
exp(−zn
∗
+ zn) = exp(−zn
∗ ) exp(zn); exp(−zm + zm
∗ ) = exp(−zm) exp(zm
∗ ).
Posant U(z) = exp(−zn
∗
+ zn) et V(z) = exp(−zm + zm
∗ ), on voit que U(z) et V(z) sont
unitaires d’après la question (1), car zn et zm
∗ sont normaux, et que, d’après (X.14), on a
ϕ(z) = f (U(z)cV(z)) si bien que
|ϕ(z)| ≤ ≤ f U(z) c V(z) = f c.
Par le théorème de Liouville, ϕ(z) est constante. Donc ϕ(z) = ϕ(0) et en particulier
le coefficient du terme de degré 1 est nul. Or, ce coefficient vaut f (−n
∗ c + cm
∗ ), d’où
f (n
∗ c) = f (cm
∗ ) et finalement n
∗ c = cm
∗ .
Exercice X.19
(1) Remarquons que
de f
= (te + p)
−1 p = (te + p)
−1 (te + p − te)p = p − t(te + p)
−1 p = p − tx.
D’où x = (te + p)
−1 p =
p
1+t et donc lim t→0 + (te + p)
−1 p = p.
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