Chapitre X • Algèbres de Banach
Exercice X.17
(1) L’inclusion {A}
⊆ B A est évidente. B A est une algèbre car
A
n T 1 T 2 A
−n
= A
n T 1 A
−n A
n T 2 A
−n
≤ ≤A
n T 1 A
−n
A
n T 2 A
−n
.
D’où C A (T 1 T 2 ) ≤ C A (T 1 )C A (T 2 ).
Puisque A
n T A
−n
= (A
n T A
−n )
∗
= A
∗−n T
∗ A
∗n
, on a B
∗
A = B A ∗−1
D’autre part :
(LA 1 L
−1 )
n T (LA 1 L
−1 )
−n
= LA
n
1 L
−1 T LA
−n
1 L
−1
≤ ≤L L
−1
A
n
1 (L
−1 T L)A
−n
1 ,
d’où L
−1 T L ∈ B A 1 =⇒ T ∈ B A et LB A 1 L
−1
⊂ B LA 1 L −1 = B A .
Pour l’autre inclusion, on voit que
A
n
1 L
−1 T LA
−n
1 = L
−1 (LA 1 L
−1 )
n T (LA 1 L
−1 )
−n L
≤ ≤L L
−1
(LA 1 L
−1 )
n T (LA 1 L
−1 )
−n
= L L
−1
A
n T A
−n
,
d’où T ∈ B A =⇒ L
−1 T L ∈ B A 1 , L
−1 B A L ⊂ B A 1 et donc B A ⊂ LB A 1 L
−1 .
(2) (a) Remarquons qu’on peut supposer que A = I + N (quitte à remplacer A par
A
α ).
Par ailleurs (cf. Ex. V.12), il est facile de voir que
A = I + N ⇐⇒ A = exp(Q) avec Q nilpotent.
Supposons que Q est nilpotent d’ordre d ≥ 2 : Q
d−1
0; Q
d
= 0. On a alors
exp(nQ)T exp(−nQ) =
0≤i, j (−1)
j n
i Q
i
i!
T
n
j Q
j
j!
=
2d−2
k=0
n
k
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
k
j=0
(−1)
j Q
k− j T Q
j
j!(k − j)!
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
de f
=
2d−2
k=0
C k n
k
.
Autrement dit, on a
exp(nQ)T exp(−nQ) =
2d−2
k=0
C k n
k
≤ M, ∀n ∈ N.
En divisant successivement par n
2d−2
, . . . , n et en faisant n → ∞, on voit de proche en
proche que tous les coefficients C k ∈ A sont nuls :
C 2d−2 = . . . = C 1 = C 0 = 0.
En particulier, on a C 1 = QT − T Q = 0, et par suite AT = T A .
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