2. Solutions
(1) On a S
∗ e 1 = 0 et, pour n ≥ 2, S
∗ e n = e n−1 , ainsi que S
∗ S = I et S S
∗
= I − e 1 ⊗ e 1 .
Donc e 1 ⊗ e 1 = I − S S
∗
∈ A S .
D’autre part
∀p, q ∈ N
∗
, S
p e q = e q+p .
Par ailleurs, on peut vérifier facilement (cf. P 7.8 et P 7.10) les équations
A(u ⊗ v) = Au ⊗ v et (u ⊗ v)A = u ⊗ A
∗
v,
ce qui nous donne :
∀n, p ∈ N
∗
, S
n−1 (e 1 ⊗ e 1 )(S
∗ )
p−1
= S
n−1 e 1 ⊗ S
p−1 e 1 = e n ⊗ e p .
Cela montre que tous les e n ⊗ e p sont dans A S .
(2) Pour x (p) =
p
j=1 x j e j et y (n) =
n
k=1 y k e k , on peut écrire
x (p) ⊗ y (n) =
p
j=1
n
k=1
x j y k (e j ⊗ e k ).
On a donc x (p) ⊗ y (n) ∈ A S .
Remarquons d’abord que si x, y ∈ H, alors
x ⊗ y = sup(u, yx; u = 1) = x sup(||u, y|; u = 1),
soit encore
x ⊗ y = x y.
Maintenant, avec les notations précédentes x (p) , y (n) , on a
x = lim
p→∞
x (p) et y = lim
n→∞
y (n)
avec x (p) ≤ ≤x et y (n) ≤ ≤y.
D’autre part,
x ⊗ y − x (p) ⊗ y (n) = (x − x (p) ) ⊗ y (n) + x (p) ⊗ (y − y (n) ),
et donc
x ⊗ y − x (p) ⊗ y (n) ≤ ≤x − x (p) y + y − y (n) x,
ce qui prouve que
x ⊗ y = lim p,n→∞
x (p) ⊗ y (n)
.
Comme A S est fermée dans L(H), cela donne x ⊗ y ∈ A S .
(3) Tout opérateur borné de rang fini est combinaison linéaire d’opérateurs x ⊗ y de
rang 1, donc K 0 (H) ⊆ A S . L’ensemble des opérateurs compacts est K(H) = K 0 (H).
Comme A S est fermée, on a aussi K(H) ⊆ A S .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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