Chapitre X • Algèbres de Banach
Exercice X.14
(1) Pour x ∈ A, Φ(x) = Φ(xe) = Φ(ex) = Φ(x)Φ(e) = Φ(e)Φ(x). D’où Φ(e) = e.
D’autre part, si x est inversible, alors
e = Φ(e) = Φ(xx
−1 ) = Φ(x
−1 x) = Φ(x)Φ(x
−1 ) = Φ(x
−1 )Φ(x)
il en résulte que Φ(x) est inversible et que Φ(x
−1 ) = Φ(x)
−1 .
Maintenant, si Φ(x) est inversible alors x = Φ
−1 (Φ(x)) est inversible.
Donc x est inversible si et seulement si Φ(x) l’est. D’où
z σ(x) ⇐⇒ x − ze inversible ⇐⇒ Φ(x − ze) = Φ(x) − ze inversible
⇐⇒ z σ(Φ(x)) et donc σ(Φ(x)) = σ(x).
(2) Remarquons que x
2
= xx
∗
= r(xx
∗ ) (pour la dernière égalité, voir
l’Ex. X.13 (1)), d’où
Φ(x)
2
= Φ(x)Φ(x)
∗
= Φ(xx
∗ ) = r(Φ(xx
∗ )).
(3) En utilisant (1) et (2), on obtient que
x
2
= r(xx
∗ ) = r(Φ(xx
∗ )) = Φ(x)
2
.
Donc Φ(x) = x pour tout x ∈ A, CQFD.
Exercice X.15
Soit A une C
-algèbre et a ∈ A. Posons M = sup n∈N a
n
et b = a − e. Puisque a ≥ e,
on a b ≥ 0 et exp(tb) ≥ 0 pour tout t ≥ 0. D’autre part,
exp(ta) =
n≥0
(ta)
n
n!
≤
n≥0
t
n
n!
a
n
≤ M exp(t), ∀t ≥ 0.
Ainsi, exp(tb) ≤ M, ∀t ≥ 0. Remarquons alors que
exp(tb) = e + tb +
t
2 b
2
2!
+ . . . ≥ tb, ∀t ≥ 0.
Il en résulte l’inégalité
0 ≤ b ≤
exp(tb)
t
, ∀t ≥ 0.
Par conséquent, b ≤
exp(tb)
t
≤
M
t , ∀t > 0. Par passage à la limite quand t → ∞, on
obtient b = 0 et a = e.
Exercice X.16
Rappelons que S est le shift unilatéral maintes fois considéré dans cet ouvrage (cf. aussi
Ex. VII.27). La C
-algèbre engendrée par S est la plus petite algèbre de Banach incluse
dans L(H) contenant à la fois S et S
∗ .
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