2. Solutions
C
p
n les coefficients usuels du binôme,
1
n!
n
p=0
C
p
n (a 1 )
p (a 2 )
n−p
=
1
n!
(a 1 + a 2 )
n
On a bien exp(a 1 ) exp(a 2 ) = exp(a 1 + a 2 ).
(ii) Un exemple est fourni par a 1 , la matrice (2 × 2) de première ligne (01) et de
seconde ligne (00), et a 2 = a
∗
1 .
(3) Si e − a < 1, alors la série b = −
∞
n=1
1
n
(e − a)
n est absolument convergente.
Comme dans le cas scalaire, on a exp(b) = a.
Exercice X.8
(1) D’abord, si a = Π
n
i=1 exp(a i ) ∈ Exp(A), a est inversible, et son inverse est
a
−1
= Π
n
i=1 exp(−a n−i+1 ). Donc, Exp(A) ⊆ G.
D’autre part, si a ∈ Exp(A) et si x ∈ A est tel que x − a <
1
a −1
alors e − a
−1 x < 1.
Par l’Ex. X.7 (3), a
−1
= exp(b) pour un b ∈ A, et x = a exp(b) ∈ Exp(A). Ceci montre
que Exp(A) est ouvert dans G.
Montrons que Exp(A) est fermé. Si la suite a n ∈ Exp(A) et converge vers a, alors
a
−1
n a converge vers e, et pour n assez grand, on a e − a
−1
n a < 1. Comme plus haut,
a ∈ Exp(A). Ceci montre que Exp(A) est fermé dans G (On retrouve sur cet exemple le
fait qu’un sous-groupe d’un groupe topologique qui est d’intérieur non-vide est à la fois
ouvert et fermé).
(2) Si a = Π
n
i=1 exp(a i ) ∈ Exp(A) alors l’application φ : [0, 1] → Exp(A), définie par
φ(t) = Π
n
i=1 exp(ta i ) est continue, φ(0) = e et φ(1) = a. Donc Exp(A) est connexe (par
arcs) contenant e, par suite Exp(A) ⊂ G 0 . Comme, d’après (1), Exp(A) est non-vide,
ouvert et fermé, on a Exp(A) = G 0 .
(3) D’après (2), on voit que G 0 est un sous-groupe de G.
D’autre part pour tout b ∈ G, bG 0 b
−1 est un connexe contenant e. Donc bG 0 b
−1
= G 0 .
Ceci montre que G 0 est un sous-groupe normal (on dit aussi distingué) de G.
(4) Pour b ∈ G, bG 0 est connexe, ouvert et fermé dans G. C’est donc une composante
connexe de G.
Maintenant, si Λ ⊆ G est une composante connexe et si b ∈ Λ, b
−1
Λ est aussi une
composante connexe, et elle contient e. D’où b
−1
Λ = G 0 , et Λ = bG 0 .
Finalement, les seules composantes connexes de G sont les bG 0 , avec b ∈ G.
(5) Puisque G 0 est un sous-groupe normal, G/G 0 est un groupe.
D’autre part, si a ∈ G/G 0 , on a a = aG 0 .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
251
C
p
n les coefficients usuels du binôme,
1
n!
n
p=0
C
p
n (a 1 )
p (a 2 )
n−p
=
1
n!
(a 1 + a 2 )
n
On a bien exp(a 1 ) exp(a 2 ) = exp(a 1 + a 2 ).
(ii) Un exemple est fourni par a 1 , la matrice (2 × 2) de première ligne (01) et de
seconde ligne (00), et a 2 = a
∗
1 .
(3) Si e − a < 1, alors la série b = −
∞
n=1
1
n
(e − a)
n est absolument convergente.
Comme dans le cas scalaire, on a exp(b) = a.
Exercice X.8
(1) D’abord, si a = Π
n
i=1 exp(a i ) ∈ Exp(A), a est inversible, et son inverse est
a
−1
= Π
n
i=1 exp(−a n−i+1 ). Donc, Exp(A) ⊆ G.
D’autre part, si a ∈ Exp(A) et si x ∈ A est tel que x − a <
1
a −1
alors e − a
−1 x < 1.
Par l’Ex. X.7 (3), a
−1
= exp(b) pour un b ∈ A, et x = a exp(b) ∈ Exp(A). Ceci montre
que Exp(A) est ouvert dans G.
Montrons que Exp(A) est fermé. Si la suite a n ∈ Exp(A) et converge vers a, alors
a
−1
n a converge vers e, et pour n assez grand, on a e − a
−1
n a < 1. Comme plus haut,
a ∈ Exp(A). Ceci montre que Exp(A) est fermé dans G (On retrouve sur cet exemple le
fait qu’un sous-groupe d’un groupe topologique qui est d’intérieur non-vide est à la fois
ouvert et fermé).
(2) Si a = Π
n
i=1 exp(a i ) ∈ Exp(A) alors l’application φ : [0, 1] → Exp(A), définie par
φ(t) = Π
n
i=1 exp(ta i ) est continue, φ(0) = e et φ(1) = a. Donc Exp(A) est connexe (par
arcs) contenant e, par suite Exp(A) ⊂ G 0 . Comme, d’après (1), Exp(A) est non-vide,
ouvert et fermé, on a Exp(A) = G 0 .
(3) D’après (2), on voit que G 0 est un sous-groupe de G.
D’autre part pour tout b ∈ G, bG 0 b
−1 est un connexe contenant e. Donc bG 0 b
−1
= G 0 .
Ceci montre que G 0 est un sous-groupe normal (on dit aussi distingué) de G.
(4) Pour b ∈ G, bG 0 est connexe, ouvert et fermé dans G. C’est donc une composante
connexe de G.
Maintenant, si Λ ⊆ G est une composante connexe et si b ∈ Λ, b
−1
Λ est aussi une
composante connexe, et elle contient e. D’où b
−1
Λ = G 0 , et Λ = bG 0 .
Finalement, les seules composantes connexes de G sont les bG 0 , avec b ∈ G.
(5) Puisque G 0 est un sous-groupe normal, G/G 0 est un groupe.
D’autre part, si a ∈ G/G 0 , on a a = aG 0 .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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