Chapitre X • Algèbres de Banach
Puisque G 0 un sous-groupe ouvert, aG 0 est un ouvert. Donc, par définition de la
topologie-quotient, ∀a ∈ G, a est ouvert dans G/G 0 , et les ouverts de G/G 0 sont toutes
les parties de G/G 0 , qui est donc discret.
Exercice X.9
(1) Supposons que a
m
= e et soit λ ∈ C, et b λ =
m−1
k=0 (λ − 1)
k (λa)
m−k−1
.
Puisque λ
m e − (λ − 1)
m e = (λa)
m
− ((λ − 1)e)
m , on a
λ
m e − (λ − 1)
m e = (λa + e − λe)b λ = b λ (λa + e − λe).
Par conséquent, si λ
m e − (λ − 1)
m e 0, alors c λ = λa + e − λe est inversible. Donc c λ ∈ G
sauf pour un nombre fini de λ. En particulier, Λ = {λ; c λ ∈ G} est connexe.
Comme l’application φ(λ) = c λ est continue de C dans A, {c λ ; λ ∈ Λ} est connexe. Or,
φ(0) = c 0 = e et φ(1) = c 1 = a, si bien que a ∈ G 0 .
(2) Remarquons que si A est commutative, on a G 0 = {exp(a); a ∈ A}.
(i) Soit a ∈ G \ G 0 et k < j. Supposons que a
k et a
j sont dans une même composante connexe de G. Si m = j − k, alors a
m
∈ G 0 . Par suite, il existe b ∈ A tel que
a
m
= exp(b).
Posons c = exp(
1
m b). Cet élément vérifie c
m
= a
m et (c
−1 a)
m
= e. D’après (1), c
−1 a ∈ G 0 .
Comme c ∈ G 0 , a ∈ G 0 , ce qui contredit l’hypothèse.
(ii) C’est une conséquence immédiate de (a).
(3) Soit f ∈ G, montrons qu’il existe un chemin continu dans G, joignant f à 1. En
effet, soit f t : [0, 1] → G définie par f t (x) = f (tx), t ∈ [0, 1], alors t → f t est continue,
f 1 = f et f 0 = f (0), la fonction constante. Posons f (0) = exp(α), α ∈ C et soit g t
définie par g t (x) = exp((1 − t)α). Alors g t joint f (0) à la constante 1. Ceci montre que
g est connexe (par arcs). Donc g = g 0 . (Signalons sans preuve le fait suivant : si T est
le cercle-unité du plan complexe et si A = C C (T), alors tout inversible f de A s’écrit
f (z) = z
n e
g(z) avec g ∈ C C (T) et n ∈ Z, si bien qu’ici G/G 0 est le groupe discret et
dénombrable Z.Un exemple plus extrême sera donné dans (5) qui suit).
(4) Remarquons d’abord que f ∈ G ⇐⇒ f (t) 0 ∀t ∈ [0, 1].
Si f ∈ G et f est positive, il existe g ∈ A tel que f = exp(g). Donc f ∈ G 0 .
Maintenant si f ∈ G, alors f
2 est positive et donc f
2
∈ G 0 . Ceci montre que G/G 0
est d’ordre 2. En effet, par le théorème de la valeur intermédiaire, f ∈ G est de signe
constant. Si ce signe est +, f ∈ G 0 . Si c’est −, on a − f ∈ G 0 . Enfin, −1 ∈ G \ G 0 .
(5) Remarquons que si α ∈ R alors δ α δ −α = δ 0 . D’où δ α ∈ G.
(a) Soit δ α ∈ G 0 : il existe μ α ∈ M C (R) telle que δ α = exp(μ α ). Pour alléger les
notations, écrivons μ au lieu de μ α . Rappelons que la transformée de Fourier σ d’une
252
Puisque G 0 un sous-groupe ouvert, aG 0 est un ouvert. Donc, par définition de la
topologie-quotient, ∀a ∈ G, a est ouvert dans G/G 0 , et les ouverts de G/G 0 sont toutes
les parties de G/G 0 , qui est donc discret.
Exercice X.9
(1) Supposons que a
m
= e et soit λ ∈ C, et b λ =
m−1
k=0 (λ − 1)
k (λa)
m−k−1
.
Puisque λ
m e − (λ − 1)
m e = (λa)
m
− ((λ − 1)e)
m , on a
λ
m e − (λ − 1)
m e = (λa + e − λe)b λ = b λ (λa + e − λe).
Par conséquent, si λ
m e − (λ − 1)
m e 0, alors c λ = λa + e − λe est inversible. Donc c λ ∈ G
sauf pour un nombre fini de λ. En particulier, Λ = {λ; c λ ∈ G} est connexe.
Comme l’application φ(λ) = c λ est continue de C dans A, {c λ ; λ ∈ Λ} est connexe. Or,
φ(0) = c 0 = e et φ(1) = c 1 = a, si bien que a ∈ G 0 .
(2) Remarquons que si A est commutative, on a G 0 = {exp(a); a ∈ A}.
(i) Soit a ∈ G \ G 0 et k < j. Supposons que a
k et a
j sont dans une même composante connexe de G. Si m = j − k, alors a
m
∈ G 0 . Par suite, il existe b ∈ A tel que
a
m
= exp(b).
Posons c = exp(
1
m b). Cet élément vérifie c
m
= a
m et (c
−1 a)
m
= e. D’après (1), c
−1 a ∈ G 0 .
Comme c ∈ G 0 , a ∈ G 0 , ce qui contredit l’hypothèse.
(ii) C’est une conséquence immédiate de (a).
(3) Soit f ∈ G, montrons qu’il existe un chemin continu dans G, joignant f à 1. En
effet, soit f t : [0, 1] → G définie par f t (x) = f (tx), t ∈ [0, 1], alors t → f t est continue,
f 1 = f et f 0 = f (0), la fonction constante. Posons f (0) = exp(α), α ∈ C et soit g t
définie par g t (x) = exp((1 − t)α). Alors g t joint f (0) à la constante 1. Ceci montre que
g est connexe (par arcs). Donc g = g 0 . (Signalons sans preuve le fait suivant : si T est
le cercle-unité du plan complexe et si A = C C (T), alors tout inversible f de A s’écrit
f (z) = z
n e
g(z) avec g ∈ C C (T) et n ∈ Z, si bien qu’ici G/G 0 est le groupe discret et
dénombrable Z.Un exemple plus extrême sera donné dans (5) qui suit).
(4) Remarquons d’abord que f ∈ G ⇐⇒ f (t) 0 ∀t ∈ [0, 1].
Si f ∈ G et f est positive, il existe g ∈ A tel que f = exp(g). Donc f ∈ G 0 .
Maintenant si f ∈ G, alors f
2 est positive et donc f
2
∈ G 0 . Ceci montre que G/G 0
est d’ordre 2. En effet, par le théorème de la valeur intermédiaire, f ∈ G est de signe
constant. Si ce signe est +, f ∈ G 0 . Si c’est −, on a − f ∈ G 0 . Enfin, −1 ∈ G \ G 0 .
(5) Remarquons que si α ∈ R alors δ α δ −α = δ 0 . D’où δ α ∈ G.
(a) Soit δ α ∈ G 0 : il existe μ α ∈ M C (R) telle que δ α = exp(μ α ). Pour alléger les
notations, écrivons μ au lieu de μ α . Rappelons que la transformée de Fourier σ d’une
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