Chapitre X • Algèbres de Banach
Exercice X.5
(1) Il est clair que a n − λ n e → a − λe quand n → ∞. Si a − λe est inversible, il
existe un entier N > 0 tel que (a N − λ N e) − (a − λe) <
1
(a−λe) −1
et il résulte alors du
lemme de Neumann P 10.1 que a N − λ N e est inversible ; ceci est contraire à l’hypothèse
(λ N ∈ σ(a N )) : a − λe est donc non inversible.
(2) Il suffit (quitte à prendre une sous-suite des a n ) de montrer que si
h = sup(a
−1
n ; n ∈ N
∗ ) < ∞,
alors a est inversible. Or, nous pouvons écrire
e − aa
−1
n = (a n − a)a
−1
n ≤ ha n − a.
(X.8)
Donc, dès que a n − a <
1
h
, (X.8) et le lemme de Neumann montrent que aa
−1
n est
inversible, si bien que a l’est aussi.
Par conséquent, si a n’est pas inversible, la suite {{a
−1
n , n ∈ N
∗
} tend vers l’infini. (Voir
une solution alternative dans l’Ex. V.6).
Exercice X.6
(1) Soit G le groupe des éléments inversibles de A et ∂G sa frontière.
Soit y ∈ ∂G. Alors il existe (y n ) ∈ G telle que y n → y dans A.
Puisque y n’est pas inversible, l’Ex. X.5 montre que y
−1
n → +∞.
Par hypothèse, on a y n y
−1
n ≤ M. Cela implique y n → 0, puis y = 0.
(2) Soit x ∈ A et λ ∈ ∂σ(x). Alors, x−λe ∈ ∂G. La question (1) montre que x−λe = 0,
soit x = λe. Ceci montre que A = Ce.
Exercice X.7
(1) La série
∞
p=0
1
p! a
p est absolument convergente et donc elle est convergente (cf.
P 2.1). On note sa somme exp(a) et l’on a
exp(a) =
∞
p=0
1
p!
a
p
≤
∞
p=0
1
p!
a
p
= exp(a).
(2) (i) Si a 1 a 2 = a 2 a 1 , alors on a par produit de Cauchy absolument convergent :
exp(a 1 ) exp(a 2 ) =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
+∞
p=0
1
p!
(a 1 )
p
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
+∞
q=0
1
q!
(a 2 )
q
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
+∞
n=0
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
n
p=0
1
p!
1
(n − p)!
(a 1 )
p (a 2 )
n−p
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
On a changé le couple de variables (p, q) en (p, n = p + q). La somme entre crochets
s’obtient en tenant compte de la commutation entre a 1 et a 2 . Elle a pour valeur, en notant
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