2. Solutions
(4) (i) Espace de dimension finie.
Soit A = L(H) où H est un espace de Hilbert de dimension finie. Par le théorème de
Cayley-Hamilton, M(X) ∅ pour tout X ∈ L(H).
Soit A, B ∈ L(H). Les polynômes p 0 , q 0 sont les polynômes minimaux au sens usuel de
AB et BA respectivement.
Supposons que q 0 (0) 0, alors BA est inversible. Puisque la dimension de H est finie, A
et B sont inversibles et AB l’est aussi. p 0 (z) ne doit donc pas avoir de facteur z. La seule
situation est donc celle du cas (X.6).
Supposons que q 0 (0) = 0, alors BA est non inversible. Ceci peut être obtenu de deux
manières :
– soit A est non injectif, donc non surjectif. Alors AB n’est pas surjectif, a fortiori il est
non inversible,
– soit B est non surjectif, donc non injectif. Alors, AB est non injectif. Donc p 0 (0) = 0.
On peut être dans l’un des trois cas, comme le montrent les exemples qui suivent :
Si A = B, p 0 = q 0 (cas (X.6)).
Si H est un espace de Hilbert de dimension 2 muni d’une base (e 1 , e 2 ), pour A donné par
Ae 1 = 0, Ae 2 = e 1 et B donné par Be 1 = 0, Be 2 = e 2 , alors BA = 0, AB 0, (AB)
2
= 0
d’où p 0 (z) = zq 0 (z) (cas (X.7)).
Le cas (X.6) s’obtient évidemment en échangeant A et B dans l’exemple précédent.
(ii) Espace de dimension infinie.
Soit A = L(H), où H est un espace de Hilbert de dimension infinie. Il peut arriver que
M(AB) soit vide.
(a) Cas où M( AB) ∅. Si X est un opérateur borné de rang fini,
ker(X)
⊥
= Im(X
∗ ) est de dimension finie donc H 1 = Vect(ker(X)
⊥
, Im(X)) est de dimension finie. Notons H 2 = (H 1 )
⊥ , donc H = H 1 ⊕ H 2 ; pour cette écriture on a
X = X 1 ⊕ 0, X 1 ∈ L(H 1 ). X 1 admet un polynôme minimal p 1 . X admet pour polynôme
minimal :
1. p 0 , p 0 (z) = zp 1 (z) si X 1 est injectif,
2. p 0 = p 1 dans le cas contraire (ker(X) ∩ Im(X) {0}).
Ceci va servir à fabriquer des couples (A, B) avec M(AB) ∅.
Supposons A ou B borné de rang fini, il en est de même pour AB et BA.
Les ensembles M(AB) et M(BA) sont donc non-vides.
Choisissons par exemple, pour le Hilbert H muni d’une base orthonormale (e n , n ∈ N
∗ ),
A = e 1 ⊗ e 1 et ∀n, Be n = e n+1 . On reconnaît dans B l’opérateur S de l’Ex. IV.5.
BA = (Be 1 )⊗e 1 = e 2 ⊗e 1 ; et ∀n, ABe n = Ae n+1 = 0 ; par suite, p AB (z) = z et p BA (z) = z
2 .
(b) Cas où M( AB) = ∅. Soit H = L
2 ([0, 1]), A définie par A f (x) = x f (x) et
B = I. p(AB) = p(A) est défini par ∀ f ∈ H, p(A) f (x) = p(x) f (x) donc p(A) 0.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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(4) (i) Espace de dimension finie.
Soit A = L(H) où H est un espace de Hilbert de dimension finie. Par le théorème de
Cayley-Hamilton, M(X) ∅ pour tout X ∈ L(H).
Soit A, B ∈ L(H). Les polynômes p 0 , q 0 sont les polynômes minimaux au sens usuel de
AB et BA respectivement.
Supposons que q 0 (0) 0, alors BA est inversible. Puisque la dimension de H est finie, A
et B sont inversibles et AB l’est aussi. p 0 (z) ne doit donc pas avoir de facteur z. La seule
situation est donc celle du cas (X.6).
Supposons que q 0 (0) = 0, alors BA est non inversible. Ceci peut être obtenu de deux
manières :
– soit A est non injectif, donc non surjectif. Alors AB n’est pas surjectif, a fortiori il est
non inversible,
– soit B est non surjectif, donc non injectif. Alors, AB est non injectif. Donc p 0 (0) = 0.
On peut être dans l’un des trois cas, comme le montrent les exemples qui suivent :
Si A = B, p 0 = q 0 (cas (X.6)).
Si H est un espace de Hilbert de dimension 2 muni d’une base (e 1 , e 2 ), pour A donné par
Ae 1 = 0, Ae 2 = e 1 et B donné par Be 1 = 0, Be 2 = e 2 , alors BA = 0, AB 0, (AB)
2
= 0
d’où p 0 (z) = zq 0 (z) (cas (X.7)).
Le cas (X.6) s’obtient évidemment en échangeant A et B dans l’exemple précédent.
(ii) Espace de dimension infinie.
Soit A = L(H), où H est un espace de Hilbert de dimension infinie. Il peut arriver que
M(AB) soit vide.
(a) Cas où M( AB) ∅. Si X est un opérateur borné de rang fini,
ker(X)
⊥
= Im(X
∗ ) est de dimension finie donc H 1 = Vect(ker(X)
⊥
, Im(X)) est de dimension finie. Notons H 2 = (H 1 )
⊥ , donc H = H 1 ⊕ H 2 ; pour cette écriture on a
X = X 1 ⊕ 0, X 1 ∈ L(H 1 ). X 1 admet un polynôme minimal p 1 . X admet pour polynôme
minimal :
1. p 0 , p 0 (z) = zp 1 (z) si X 1 est injectif,
2. p 0 = p 1 dans le cas contraire (ker(X) ∩ Im(X) {0}).
Ceci va servir à fabriquer des couples (A, B) avec M(AB) ∅.
Supposons A ou B borné de rang fini, il en est de même pour AB et BA.
Les ensembles M(AB) et M(BA) sont donc non-vides.
Choisissons par exemple, pour le Hilbert H muni d’une base orthonormale (e n , n ∈ N
∗ ),
A = e 1 ⊗ e 1 et ∀n, Be n = e n+1 . On reconnaît dans B l’opérateur S de l’Ex. IV.5.
BA = (Be 1 )⊗e 1 = e 2 ⊗e 1 ; et ∀n, ABe n = Ae n+1 = 0 ; par suite, p AB (z) = z et p BA (z) = z
2 .
(b) Cas où M( AB) = ∅. Soit H = L
2 ([0, 1]), A définie par A f (x) = x f (x) et
B = I. p(AB) = p(A) est défini par ∀ f ∈ H, p(A) f (x) = p(x) f (x) donc p(A) 0.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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