Chapitre X • Algèbres de Banach
Exercice X.18 : Théorème de Fuglede
Soit A une C
-algèbre.
(1) Montrer que si a ∈ A est normal, alors exp(a − a
∗ ) est unitaire.
(2) Soit n, m deux éléments normaux de A et soit c ∈ A.
Montrer l’implication nc = cm ⇒ n
∗ c = cm
∗ .
(Utiliser la fonction g(z) = f (exp(−zn
∗ )c exp(zm
∗ )) où f ∈ A
∗ ).
Exercice X.19
Soit A une C
-algèbre.
(1) Montrer que si p ∈ A un projecteur (c’est-à-dire si p = p
2
= p
∗ ), alors
lim
t→0 +
(te + p)
−1 p = p
(2) v ∈ A est dite une isométrie partielle si vv
∗
v = v (voir l’Ex. VI.11).
Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) v est une isométrie partielle ;
(b) lim t→0 + (te + vv
∗ )
−1
v = v ;
(c) lim t→0 + v(te + vv
∗ )
−1
= v ;
(d)
k≥0 α(e − αvv
∗ )
k
v = v pour 0 < α <
2
v 2 .
(3) Soit a ∈ A.
(i) Montrer que si a ≥ 0, alors lim t→+∞ a exp(−ta) = 0.
(ii) Si v ∈ A, montrer que
v est une isométrie partielle ⇐⇒
∞
0
exp(−tvv
∗ )vdt = v.
Exercice X.20
Soit W l’algèbre des fonctions continues 2π-périodiques sur R dont la série de Fourier
est absolument convergente, définie par :
W = { f : R → C; f (t) =
+∞
n=−∞
f n exp(int) avec f n ∈ C et
+∞
n=−∞
| f n | < ∞}.
Cette algèbre W est appelée algèbre de Wiener. Les f n sont les coefficients de Fourier de
f , soit f n =
1
2π
2π
0
f (t)e
−int dt.
(1) Montrer que W munie de la norme f W =
+∞
n=−∞ | f n | est bien une algèbre de
Banach.
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