1. Énoncés
Exercice X.15
Soit A une C
-algèbre et a ∈ A.
On suppose que a ≥ e et que a est à puissances bornées (c’est-à-dire qu’on a
sup n∈N a
n
< ∞). Montrer que a = e.
(On pourra poser b = a − e et étudier exp(tb), t ≥ 0.)
Exercice X.16
H est un espace de Hilbert séparable muni d’une base orthonormée fixée (e n , n ∈ N
∗ ).
L’opérateur S ∈ L(H) est donné par ∀n ∈ N
∗
, S e n = e n+1 . Soit A S la C
∗ -algèbre engendrée par S .
(1) Montrer que A S contient tous les e n ⊗ e p , n, p ∈ N
∗ .
(2) Montrer que A S contient tous les x ⊗ y, x, y ∈ H.
(On pourra répondre d’abord pour x et y combinaisons linéaires finies des vecteurs de
base).
(3) Montrer que A S contient tous les opérateurs compacts.
Exercice X.17 : Algèbre de Deddens
Soit H un espace de Hilbert complexe séparable, A = L(H) et K(H) l’idéal des opérateurs compacts. Pour A ∈ L(H), on notera
{A}
= {T ∈ L(H); AT = T A}
le commutant de A. Si de plus A ∈ L(H) est inversible, on notera
B A = {T ∈ L(H); C A (T )
de f
= sup
n ∈ N
A
n T A
−n
< ∞}.
(1) Montrer que B A est une algèbre contenant {A}
, que B
∗
A = B A ∗−1 et que si
A = LA 1 L
−1 , alors B A = LB A 1 L
−1 .
(2) (a) Montrer que si A = αI + N où N est nilpotent et α 0, alors B A = {A}
.
(b) Montrer que si la dimension de H est finie, on a l’équivalence :
A = αI + N ⇐⇒ B A = {A}
.
(3) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) B A = L(H) ;
(ii) K(H) ⊆ B A ;
(iii) A = αWUW
−1 , avec α > 0, W inversible et U unitaire.
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