Chapitre X • Algèbres de Banach
(ii) ∀x ∈ A, ϕ(x
2 ) = (ϕ(x))
2 ;
(iii) ∀x, y ∈ A, ϕ(x) = 0 =⇒ ϕ(xy) = 0 ;
(iv) ∀x, y ∈ A, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y).
(2) Supposons que ϕ ne s’annule pas sur les élément inversibles de A et soit x ∈ A.
Montrer que ϕ(x) = 0 =⇒ ϕ(x
2 ) = 0 (Indication : on pourra considérer, pour tout entier
n ≥ 1, le polynôme P n (z) = ϕ((ze − x)
n ) et exploiter le fait que toutes ses racines sont
dans le compact σ(x)).
(3) En déduire le théorème de « Gleason-Kahane-Zelazko » : Si A est une algèbre
de Banach complexe et ϕ : A → C une forme linéaire vérifiant ϕ(e) = 1 et ϕ(x) 0
pour tout x ∈ G, alors ϕ est multiplicative.
Exercice X.12 : Réciproque simple de Ex. X.11
Soit A une algèbre de Banach et ϕ : A → C une forme linéaire non-nulle et multiplicative (i.e. ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) pour tous x, y ∈ A).
(1) Montrer que ϕ(e) = 1 et que ϕ(x) 0 pour tout x inversible.
(2) Montrer que x ∈ A et x < 1 implique |ϕ(x)| < 1.
(3) Montrer que ϕ est continue et que ϕ = 1.
Exercice X.13
Soit A une C
-algèbre unitaire.
(1) Soit a un élément normal de A.
(i) Montrer que ∀p ∈ N
∗
, a
2
p = a
2
p .
(ii) En déduire que r(a) = a.
(2) Montrer que A est commutative si et seulement si ∀x ∈ A, x est normal.
Exercice X.14 : Rigidité des isomorphismes
Soit A une C
-algèbre et Φ : A → A un C
-isomorphisme (c’est-à-dire que Φ est un
isomorphisme d’algèbre et que Φ(x
∗ ) = Φ(x)
∗ pour tout x ∈ A).
(1) Montrer que σ(Φ(x)) = σ(x) pour tout x ∈ A.
(2) Montrer que Φ(x)
2
= r(Φ(xx
∗ )) pour tout x ∈ A.
(3) En déduire que Φ est une isométrie, c’est-à-dire :
Φ(x) = x pour tout x ∈ A.
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