1. Énoncés
(i) Montrer que si k < j, alors a
k et a
j ne peuvent pas être dans la même composante connexe de G.
(ii) En déduire que, si G n’est pas connexe, il admet une infinité de composantes
connexes.
(3) Soit A = C C ([0, 1]), l’algèbre de Banach des fonctions continues de [0, 1] dans C,
munie de la norme-infini.
Montrer que G = G 0 est connexe.
(4) Soit A = C R ([0, 1]), l’algèbre de Banach réelle des fonctions continues de [0, 1]
dans R, munie de la norme-infini.
Montrer que G/G 0 est d’ordre 2.
(5) Soit A = M C (R) l’algèbre de Banach commutative des mesures de Borel complexes sur R, munie de la convolution et de la norme « variation totale ».
(i) Soit α ∈ R. Montrer que si δ α ∈ G 0 , alors α = 0.
(ii) En déduire que G/G 0 n’est pas dénombrable.
Exercice X.10
Soit A une algèbre de Banach.
(1) Soit x, y ∈ A. Montrer que r(xy) = r(yx)
(où r(u) est le rayon spectral de u).
(2) Supposons qu’il existe C > 0 tel que ∀x ∈ A, x ≤ Cr(x).
Montrer que A est commutative.
(Si x, y ∈ A, on pourra considérer l’application ϕ : C → C définie par
ϕ(z) = f
exp(−zx)y exp(zx)
,
dans laquelle f ∈ A
∗ ).
(3) Supposons qu’il existe C > 0 tel que ∀x, y ∈ A, xy ≤ Cyx.
Montrer que A est commutative.
(4) Supposons qu’il existe C > 0 tel que ∀x ∈ A, x
2
≤ Cx
2
.
Montrer que A est commutative.
Exercice X.11
Soit A une algèbre de Banach et ϕ : A → C une forme linéaire telle que ϕ(e) = 1.
(1) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) ∀x ∈ A, ϕ(x) = 0 =⇒ ϕ(x
2 ) = 0 ;
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