Chapitre X • Algèbres de Banach
(1) Montrer que ∂G = {0}
(On pourra utiliser l’Ex. X.5).
(2) En déduire que A = Ce.
Exercice X.7 : Exponentielle
Soit A une algèbre de Banach. À a ∈ A, on associe la fonction exp(a), « définie » par la
formule
exp(a) =
+∞
p=0
1
p!
a
p
.
(X.1)
(1) Justifier l’écriture précédente.
(2) Soient a 1 , a 2 ∈ A.
(i) Montrer que
a 1 a 2 = a 2 a 1 ⇒ exp(a 1 + a 2 ) = exp(a 1 ) exp(a 2 ).
(ii) Montrer que si a 1 a 2 a 2 a 1 , on peut avoir exp(a 1 + a 2 ) exp(a 1 ) exp(a 2 ).
(3) Montrer que si e − a < 1, alors a = exp(b) pour un b ∈ A.
Exercice X.8
Soit A une algèbre de Banach, G le groupe de ses éléments inversibles, et G 0 la composante connexe de G contenant e. Désignons par
Exp(A) = {Π
n
i=1 exp(a i ); a i ∈ A}
l’ensemble (sous-groupe de G) des produits finis d’exponentielles.
(1) Montrer que Exp(A) est ouvert et fermé dans G.
(2) Montrer que Exp(A) est un connexe de G contenant e et en déduire que l’on a
Exp(A) = G 0 .
(3) Montrer que G 0 est un sous-groupe normal de G.
(4) Décrire les composantes connexes de G.
(5) Montrer que G/G 0 , muni de la topologie-quotient, est un groupe discret.
Exercice X.9
Soit A une algèbre de Banach, et G 0 la composante connexe de G contenant e.
(1) Soit a ∈ A tel que a
m
= e pour un m ∈ N
∗ . Montrer que a ∈ G 0 .
(2) Supposons que A est commutative, et soit a ∈ G \ G 0 .
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