1. Énoncés
(ii) Montrer que T
−1
A T
(on pourra considérer pour n ∈ Z, le sous-espace E n = Vect(e j , j ≥ n)).
(3) Soit A une algèbre de Banach complexe. Soit T ∈ A inversible et soit Ω ∞ la
composante connexe non bornée de l’ensemble résolvant (cf. D 10.5) de T . Montrer que
l’on a l’implication :
0 ∈ Ω ∞ =⇒ T
−1
∈ A T
où A T désigne la fermeture de A T dans A.
Exercice X.4
Soit A une algèbre de Banach, et x ∈ A. Un polynôme p est dit normalisé si le coefficient
de son terme de plus haut degré est égal à 1. On note
M(x) = {p ∈ C[X] normalisés; p 0, p(x) = 0}.
(1) Soit x ∈ A tel que M(x) ∅. Montrer l’existence d’un polynôme unique
p x ∈ M(x) de degré minimal (on notera r x ce degré).
(2) Soient a, b ∈ A. On suppose que M(ab) ∅. Montrer que M(ba) ∅.
(On établira que si p ∈ M(ab), alors q donné par q(z) = zp(z) est un élément de
M(ba)).
(3) Quelles sont les relations entre p ab et p ba ?
(On aura plusieurs égalités possibles).
(4) Illustrer les résultats précédents par des exemples simples : lorsqu’on a A = L(H),
H espace de Hilbert, trouver des opérateurs A, B pour lesquels M(AB) ∅ ; expliciter
des polynômes p AB et p BA .
Exercice X.5
Soit A une algèbre de Banach, et (a n ) n∈N ∗ une suite de A convergeant vers a ∈ A.
(1) On suppose qu’il existe une suite (λ n ) n∈N ∗ d’éléments de C convergeant vers λ ∈ C
telle que ∀n, λ n ∈ σ(a n ). Montrer que λ ∈ σ(a).
(2) On suppose que a n est inversible pour tout n et que a ne l’est pas. Montrer que la
suite (a
−1
n ) n∈N ∗ tend vers l’infini.
Exercice X.6
Soit A une algèbre de Banach, G le groupe de ses éléments inversibles, et ∂G la frontière
topologique de G.
On suppose qu’il existe M > 0 tel que
∀x, y ∈ A, x y ≤ Mxy.
239