X
ALGÈBRES DE BANACH
1 ÉNONCÉS
Dans toute la suite, sauf dans l’Ex. X.9.(4), les algèbres de Banach considérées seront
sur le corps des complexes et avec unité e.
Exercice X.1
(1) Soit A une algèbre de Banach et a, b ∈ A. Montrer l’égalité ensembliste
σ(ab) ∪ {0} = σ(ba) ∪ {0}.
(2) Donner des exemples dans lesquels σ(ab) σ(ba) ou σ(ab) = σ(ba).
Exercice X.2
(1) Soit A une algèbre de Banach avec la propriété : si a ∈ A et a 0, alors a est
inversible. Montrer que A = Ce.
(2) L’hypothèse de (1) est supposée avoir lieu pour l’algèbre de Banach A = L(E),
où E est un espace de Banach. Comment est alors l’espace E ?
Exercice X.3
Soit E un espace de Banach, A = L(E), et T un élément de A. On note
A T = {P(T ) ; P ∈ C[X]} et B l’algèbre de Banach engendrée par T .
(1) On suppose que E est de dimension finie.
(i) Montrer que A T = B.
(ii) Montrer que si T est inversible, il existe un polynôme Q tel que T
−1
= Q(T )
(c’est-à-dire T
−1
∈ A T ).
(2) Montrer par un exemple qu’en dimension infinie, le résultat de (1) (ii), n’est pas
vrai. Pour cela, on considère un espace de Hilbert H, séparable et muni d’une base orthonormée (e n ) n∈Z . Soit T « définie » par : ∀n ∈ Z , T e n = e n+1 .
(i) Montrer que T est inversible et calculer son inverse.
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