2. Solutions
Il n’y a plus qu’à prendre n k = n et la suite d’entiers ainsi construite répond à la question
(elle vérifie (IX.7)).
(2) Soit V n =
y 1 +...+y n
n
. On développe V n
2 en utilisant les propriétés du produit
scalaire, ce qui donne
V n
2
=
1
n 2
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
n
k=1
y k
2
+ 2
1≤ j y j , y k
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ≤
1
n 2
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ C
2 n + 2
1≤ j 1
k
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
≤
1
n 2
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ C
2 n + 2
n
k=1
k − 1
k
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ≤
1
n 2
C
2 n + 2n
=
C
2
+ 2
n
,
ce qui montre (IX.8) : ainsi V n → 0, ce qu’il fallait démontrer.
Remarque : Soit X un espace de Banach et (x n ) une suite de X tendant faiblement
vers zéro : ∀x
∗
∈ X
∗
, lim n→∞ x
∗ (x n ) = 0. Alors on démontre, comme conséquence du
théorème de Hahn-Banach géométrique, qu’il existe une suite de combinaisons convexes
V n =
l n
k=1
λ n,k x k avec λ n,k ≥ 0,
l n
k=1
λ n,k = 1 telle que lim
n→∞
V n = 0.
L’exercice IX.12 pointe le fait que, dans un Hilbert, tous les poids non-nuls λ n,k peuvent
être choisis égaux. Cette propriété de Banach-Saks n’est pas possédée par tous les
Banach, et elle implique notamment la réflexivité de X.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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