Chapitre IX • Convergence faible et...
La relation précédente se lit donc
sup
n∈N ∗
x n < ∞.
(ii) Par (P 9.4), l’égalité de convergence faible y = w − lim p→∞ x n(p) se traduit
par :
Pour tout f ∈ E
∗
, lim
p
x n(p) , f = y, f .
La suite numérique (x n , f ) n∈N ∗ est de Cauchy et elle admet une sous-suite convergente
vers y, f . On en conclut
Pour tout f ∈ E
∗
, lim
n→∞
x n , f = y, f .
Une nouvelle application de (P 9.4) établit alors que y = w − lim n x n .
(2) Il nous faut admettre ici le théorème d’Eberlein-Smˇ ulyan : Si M ⊂ E est relativement w-compacte et si y ∈ E est w-adhérent à M, il existe une suite (x n ) d’éléments de
M avec x n
w
−→ y.
Cela étant dit, la propriété à établir ici fait penser à de la compacité. On va en effet s’y
ramener par emploi du théorème de Banach-Alaoglu (P 9.6).
Soit (x n ) n∈N ∗ une suite bornée de E, et M = {x n , n ∈ N
∗
} l’ensemble de ses points.
On « place » E dans (E
∗ )
∗
= E
∗∗
= F
∗ . La w*-topologie est utilisée sur F
∗
. M est par
hypothèse borné donc inclus dans une boule fermée qui est, d’après la propriété (P 9.6),
un ensemble compact. L’ensemble M admet donc un point adhérent y, au sens de la w*topologie sur E
∗∗ , qui n’est autre que la topologie σ(E, E
∗ ), w-topologie sur E. On peut
maintenant utiliser le théorème d’Eberlein-Smˇ ulyan pour conclure qu’il existe une suite
de points de M, donc une sous-suite de (x n ), qui converge faiblement vers y.
(3) La suite (x n ) n∈N ∗ vérifie (IX.3). Par (i), elle est bornée.
Par (IX.4), cette suite admet donc une sous-suite faiblement convergente vers y dans E.
Par (1) (ii), on sait alors que la suite (x n ) n∈N ∗ entière est faiblement convergente vers y
dans E.
Remarque : On comparera ce résultat à celui de l’Ex. IX.9. L’espace alors utilisé n’était
pas supposé réflexif.
Exercice IX.12
(1) On construit la suite (n j ) par récurrence. On prend n 1 = 1. Puisque
lim n→∞ x n , x n 1 = 0, on peut trouver n 2 > n 1 tel que ||x n 2 , x n 1 ≤
1
2 . Ayant construit
n 1 < n 2 < . . . < n k−1 avec la propriété requise, on sait que lim n→∞
k−1
l=1 ||x n , x n l | = 0, on
peut donc trouver n > n k−1 tel que
max
1≤l≤k−1
||x n , x n l | ≤
1
k
.
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La relation précédente se lit donc
sup
n∈N ∗
x n < ∞.
(ii) Par (P 9.4), l’égalité de convergence faible y = w − lim p→∞ x n(p) se traduit
par :
Pour tout f ∈ E
∗
, lim
p
x n(p) , f = y, f .
La suite numérique (x n , f ) n∈N ∗ est de Cauchy et elle admet une sous-suite convergente
vers y, f . On en conclut
Pour tout f ∈ E
∗
, lim
n→∞
x n , f = y, f .
Une nouvelle application de (P 9.4) établit alors que y = w − lim n x n .
(2) Il nous faut admettre ici le théorème d’Eberlein-Smˇ ulyan : Si M ⊂ E est relativement w-compacte et si y ∈ E est w-adhérent à M, il existe une suite (x n ) d’éléments de
M avec x n
w
−→ y.
Cela étant dit, la propriété à établir ici fait penser à de la compacité. On va en effet s’y
ramener par emploi du théorème de Banach-Alaoglu (P 9.6).
Soit (x n ) n∈N ∗ une suite bornée de E, et M = {x n , n ∈ N
∗
} l’ensemble de ses points.
On « place » E dans (E
∗ )
∗
= E
∗∗
= F
∗ . La w*-topologie est utilisée sur F
∗
. M est par
hypothèse borné donc inclus dans une boule fermée qui est, d’après la propriété (P 9.6),
un ensemble compact. L’ensemble M admet donc un point adhérent y, au sens de la w*topologie sur E
∗∗ , qui n’est autre que la topologie σ(E, E
∗ ), w-topologie sur E. On peut
maintenant utiliser le théorème d’Eberlein-Smˇ ulyan pour conclure qu’il existe une suite
de points de M, donc une sous-suite de (x n ), qui converge faiblement vers y.
(3) La suite (x n ) n∈N ∗ vérifie (IX.3). Par (i), elle est bornée.
Par (IX.4), cette suite admet donc une sous-suite faiblement convergente vers y dans E.
Par (1) (ii), on sait alors que la suite (x n ) n∈N ∗ entière est faiblement convergente vers y
dans E.
Remarque : On comparera ce résultat à celui de l’Ex. IX.9. L’espace alors utilisé n’était
pas supposé réflexif.
Exercice IX.12
(1) On construit la suite (n j ) par récurrence. On prend n 1 = 1. Puisque
lim n→∞ x n , x n 1 = 0, on peut trouver n 2 > n 1 tel que ||x n 2 , x n 1 ≤
1
2 . Ayant construit
n 1 < n 2 < . . . < n k−1 avec la propriété requise, on sait que lim n→∞
k−1
l=1 ||x n , x n l | = 0, on
peut donc trouver n > n k−1 tel que
max
1≤l≤k−1
||x n , x n l | ≤
1
k
.
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