2. Solutions
Mais ker f k est de codimension 1, donc par récurrence, M = ∩ 1≤k≤ j ker f k est de codimension k et en particulier n’est pas réduit à zéro, puisque dim E = ∞. M ⊂ U est donc
un espace vectoriel de dimension infinie, et en particulier contient une droite.
(2) Soit x 0 ∈ B, x 0 ≤ 1. Montrer que x 0 ∈ S , c’est établir que tout voisinage V de
x 0 rencontre S . Or un voisinage de x 0 est obtenu par la translation de vecteur x 0 à partir
d’un voisinage de 0. On peut donc utiliser le résultat de (1) pour affirmer que pour tout
voisinage V de x 0 il existe u ∈ E normé, u = 1, tel que V ⊇ D = {x ∈ E ; x = x 0 + λu,
λ ∈ C}.
Il reste à prouver que D rencontre S .
L’application Φ : {R → R, λ → →x 0 +λu} est une application continue ; Φ(0) = x 0 ≤ 1.
Et si λ = x 0 + 1, on a Φ(λ) = x 0 + λu ≥ |λ| − −x 0 = 1. Par le théorème de la valeur
intermédiaire (connexité de R !), il existe λ 0 ∈ R tel que Φ(λ 0 ) = x 0 + λ 0 u = 1. Cela
veut dire que D rencontre S .
On a ainsi obtenu l’inclusion
B ⊆ S .
(IX.14)
(3) B est un ensemble convexe. Par (P 9.8) (Hahn-Banach !) son adhérence faible est
identique à son adhérence forte, autrement dit B est fermée pour la topologie faible. On
a donc
B = B.
(IX.15)
Par ailleurs, S ⊆ B donc d’après (IX.15) :
S ⊆ B = B.
(IX.16)
(IX.14) et (IX.16) fournissent l’égalité cherchée : S = B.
Remarque : Le résultat précédent montre que la topologie faible est toujours strictement plus faible que la topologie de la norme dès que l’espace normé est de dimension
infinie. On sait (voir par exemple l’Ex. IX.5) que si l’espace est de dimension finie les
deux topologies sont les mêmes.
Exercice IX.11
(1) (i) Soit f ∈ E
∗ . La suite (x n , f ) n∈N ∗ est convergente, donc bornée :
sup n∈N ∗ ||x n , f | < ∞. Le théorème de borne uniforme (P 2.13) donne donc
sup
n∈N ∗
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ sup
f ≤1
||x n , f |
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ < ∞.
Or, le théorème de Hahn-Banach (cf. P 3.8) nous montre que
sup
f ≤1
||x n , f | = x n .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
235
Mais ker f k est de codimension 1, donc par récurrence, M = ∩ 1≤k≤ j ker f k est de codimension k et en particulier n’est pas réduit à zéro, puisque dim E = ∞. M ⊂ U est donc
un espace vectoriel de dimension infinie, et en particulier contient une droite.
(2) Soit x 0 ∈ B, x 0 ≤ 1. Montrer que x 0 ∈ S , c’est établir que tout voisinage V de
x 0 rencontre S . Or un voisinage de x 0 est obtenu par la translation de vecteur x 0 à partir
d’un voisinage de 0. On peut donc utiliser le résultat de (1) pour affirmer que pour tout
voisinage V de x 0 il existe u ∈ E normé, u = 1, tel que V ⊇ D = {x ∈ E ; x = x 0 + λu,
λ ∈ C}.
Il reste à prouver que D rencontre S .
L’application Φ : {R → R, λ → →x 0 +λu} est une application continue ; Φ(0) = x 0 ≤ 1.
Et si λ = x 0 + 1, on a Φ(λ) = x 0 + λu ≥ |λ| − −x 0 = 1. Par le théorème de la valeur
intermédiaire (connexité de R !), il existe λ 0 ∈ R tel que Φ(λ 0 ) = x 0 + λ 0 u = 1. Cela
veut dire que D rencontre S .
On a ainsi obtenu l’inclusion
B ⊆ S .
(IX.14)
(3) B est un ensemble convexe. Par (P 9.8) (Hahn-Banach !) son adhérence faible est
identique à son adhérence forte, autrement dit B est fermée pour la topologie faible. On
a donc
B = B.
(IX.15)
Par ailleurs, S ⊆ B donc d’après (IX.15) :
S ⊆ B = B.
(IX.16)
(IX.14) et (IX.16) fournissent l’égalité cherchée : S = B.
Remarque : Le résultat précédent montre que la topologie faible est toujours strictement plus faible que la topologie de la norme dès que l’espace normé est de dimension
infinie. On sait (voir par exemple l’Ex. IX.5) que si l’espace est de dimension finie les
deux topologies sont les mêmes.
Exercice IX.11
(1) (i) Soit f ∈ E
∗ . La suite (x n , f ) n∈N ∗ est convergente, donc bornée :
sup n∈N ∗ ||x n , f | < ∞. Le théorème de borne uniforme (P 2.13) donne donc
sup
n∈N ∗
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ sup
f ≤1
||x n , f |
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ < ∞.
Or, le théorème de Hahn-Banach (cf. P 3.8) nous montre que
sup
f ≤1
||x n , f | = x n .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
235