Chapitre IX • Convergence faible et...
Exercice IX.9
La suite ( f n ) n∈N ∗ est d’usage courant pour l’étude d’exemples. Son graphe
y
x
1
0
1 / n
f n
indique qu’elle décroît. Pour tout x ∈]0, 1], lim n f n (x) = 0 ; lim n f n (0) = 1.
(i) Suite
f n , μ
n∈N ∗ .
La suite ( f n ) n∈N ∗ est décroissante, et partout convergente, en particulier μ-presque partout
convergente, vers f 0 , fonction indicatrice du singleton {0}. Le théorème de Lebesgue
(noter que 0 ≤ f n ≤ 1) exprime alors que
lim
n→∞
f n dμ = lim
n→∞
f n , μ =
f 0 dμ = μ({0}).
Ainsi, chaque suite
f n , μ
n∈N ∗ est convergente, donc de Cauchy.
(ii) Non convergence faible de la suite ( f n ) n∈N ∗ .
On va utiliser les éléments particuliers du dual de E constitués par les « masses de Dirac »
δ t : {E → C, f → f (t)}, t ∈ I.
Si la suite ( f n ) est faiblement convergente vers g ∈ E, alors
Pour tout t ∈ I, g(t) =
gdδ t = lim
n→∞
f n dδ t = lim
n→∞
f n (t).
D’après (i), on doit avoir g(t) = 0 si t 0, g(0) = 1. Mais alors, g n’est pas continue !
La suite ( f n ) n’a donc pas de limite faible dans E.
Remarque : Si une suite de Cauchy ( f n ) de E est définie par la condition que chaque
suite ( f n , μ) soit de Cauchy, la conclusion précédente traduit un caractère de (E, wtopologie) que l’on peut appeler « non séquentiellement complet ».
Exercice IX.10
(1) Soit U un voisinage de 0. Selon (D 9.7), il existe ( f 1 , . . . , f j ) une famille finie
d’éléments non nuls de E
∗ et ε > 0 tels que
U ⊃
x ; max
1≤k≤ j
| f k (x)| < ε
.
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Exercice IX.9
La suite ( f n ) n∈N ∗ est d’usage courant pour l’étude d’exemples. Son graphe
y
x
1
0
1 / n
f n
indique qu’elle décroît. Pour tout x ∈]0, 1], lim n f n (x) = 0 ; lim n f n (0) = 1.
(i) Suite
f n , μ
n∈N ∗ .
La suite ( f n ) n∈N ∗ est décroissante, et partout convergente, en particulier μ-presque partout
convergente, vers f 0 , fonction indicatrice du singleton {0}. Le théorème de Lebesgue
(noter que 0 ≤ f n ≤ 1) exprime alors que
lim
n→∞
f n dμ = lim
n→∞
f n , μ =
f 0 dμ = μ({0}).
Ainsi, chaque suite
f n , μ
n∈N ∗ est convergente, donc de Cauchy.
(ii) Non convergence faible de la suite ( f n ) n∈N ∗ .
On va utiliser les éléments particuliers du dual de E constitués par les « masses de Dirac »
δ t : {E → C, f → f (t)}, t ∈ I.
Si la suite ( f n ) est faiblement convergente vers g ∈ E, alors
Pour tout t ∈ I, g(t) =
gdδ t = lim
n→∞
f n dδ t = lim
n→∞
f n (t).
D’après (i), on doit avoir g(t) = 0 si t 0, g(0) = 1. Mais alors, g n’est pas continue !
La suite ( f n ) n’a donc pas de limite faible dans E.
Remarque : Si une suite de Cauchy ( f n ) de E est définie par la condition que chaque
suite ( f n , μ) soit de Cauchy, la conclusion précédente traduit un caractère de (E, wtopologie) que l’on peut appeler « non séquentiellement complet ».
Exercice IX.10
(1) Soit U un voisinage de 0. Selon (D 9.7), il existe ( f 1 , . . . , f j ) une famille finie
d’éléments non nuls de E
∗ et ε > 0 tels que
U ⊃
x ; max
1≤k≤ j
| f k (x)| < ε
.
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