2. Solutions
Sur le schéma ci-dessus, f , choisie pour atteindre sa norme dans l’intervalle du schéma,
a été modifiée sur une partie de sorte que f 1 majore strictement f , les normes de f, f 1 , f 2
ont la même valeur, et on a f =
1
2 ( f 1 + f 2 ). Faisons maintenant une preuve rigoureuse.
Soit f ∈ B, et A > 0 tel que |x| > A =⇒ | f (x)| ≤
1
2 , ainsi que g ∈ E u une fonction
triangle, nulle hors de [A, A + 1], de hauteur
1
2 . Alors, nous avons g 0 et f ± g ∈ B. En
effet, on voit par exemple que f + g u ≤ 1 puisque |x| ≤ A =⇒ | f (x) + g(x)| = | f (x)| ≤ 1,
alors que
|x| > A =⇒ | f (x) + g(x)| ≤ | f (x)| + |g(x)| ≤
1
2
+
1
2
= 1.
Donc, f n’est pas extrême dans B et Ext(B) = ∅.
(4) Même raisonnement que dans l’Ex. IX.2.
Exercice IX.8
(i) Topologie de la norme.
Si n p, e n − e p = 2, donc (e n ) n∈N ∗ n’est pas une suite de Cauchy au sens de la norme
dans F, et elle n’est pas convergente.
(ii) Topologie faible.
F =
1 admet pour dual F
∗
=
∞ , avec comme dualité a, f =
∞
j=1 a( j) f ( j), pour
tous a ∈ F, f ∈ F
∗ . Si e n tend vers g pour cette topologie, on a lim n→∞ e n , f =
g, f pour tout f ∈
∞ , autrement dit
lim
n→∞
f (n) = g, f .
Mais ceci est absurde, car il y a des éléments f ∈
∞ tels que f (n) n’ait pas de limite, par
exemple f = ((−1)
n ). La suite étudiée n’est donc pas faiblement convergente.
(iii) Topologie *-faible.
Si f ∈ c 0 , on a cette fois
lim
n→∞
e n , f = lim
n→∞
f (n) = 0 = 0, f ,
ce qui veut dire que la suite (e n ) converge vers zéro pour la topologie ∗-faible σ(F, E).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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