Chapitre IX • Convergence faible et...
Exercice IX.7
(1) Montrons d’abord l’équivalence des deux définitions de E. Si on suppose
lim |x|→∞ f (x) = 0, soit r > 0. Il existe A > 0 tel que |x| > A =⇒ | f (x)| < r. Donc,
on a K r ⊂ [−A, A], ce qui montre que K r est fermé, borné, i.e. compact. La réciproque
s’établit de la même façon.
Soit f ∈ E. Choisissons r = 1. La fonction continue f est bornée en module par M sur
le compact K 1 , et on peut toujours supposer M ≥ 1. Et par définition x K 1 =⇒ | f (x)| ≤
1 ≤ M. On a donc | f (x)| ≤ M pour tout x ∈ R.
(2) Notons d’abord que cette question a aussi été traitée, dans un cadre un peu différent, dans l’Ex. I.3. Ensuite, E u est un sous-ensemble de l’espace de Banach F u des
fonctions continues bornées sur R muni de la norme uniforme.
(i) E u espace vectoriel.
C’est évident.
(ii) E espace de Banach.
Il suffit de prouver que E u est un sous-espace fermé de F u . Soit f ∈ E u , ε > 0, g ∈ E u
telle que f − g u ≤ ε. Il existe A > 0 tel que |x| ≥ A =⇒ |g(x)| ≤ ε. On voit donc que
|x| ≥ A =⇒ | f (x)| ≤ | f (x) − g(x)| + |g(x)| ≤ ≤ f − g u + |g(x)| ≤ 2ε,
ce qui montre que f ∈ E u .
(3) (i) Les points de la boule unité ouverte.
Comme dans tout espace de Banach, un point de la boule unité ouverte ne peut pas être
point extrême de la boule unité fermée. En effet, si f u < 1, soit r = 1 − − f u > 0 et
g ∈ E u avec g u = r. Alors f ± g ∈ B, mais g 0.
(ii) Les points de la sphère unité.
Notons que la condition de norme uniforme égale à 1 n’est pas très contraignante puisqu’il suffit qu’en un point x 0 l’on ait | f (x 0 )| = 1 et qu’en tous les autres x, | f (x)| ≤ 1.
Un graphe de fonction réelle f non constante montre qu’une fonction non constante est
intérieure à S .
y
x
0
f 1
f 2
f
232
Exercice IX.7
(1) Montrons d’abord l’équivalence des deux définitions de E. Si on suppose
lim |x|→∞ f (x) = 0, soit r > 0. Il existe A > 0 tel que |x| > A =⇒ | f (x)| < r. Donc,
on a K r ⊂ [−A, A], ce qui montre que K r est fermé, borné, i.e. compact. La réciproque
s’établit de la même façon.
Soit f ∈ E. Choisissons r = 1. La fonction continue f est bornée en module par M sur
le compact K 1 , et on peut toujours supposer M ≥ 1. Et par définition x K 1 =⇒ | f (x)| ≤
1 ≤ M. On a donc | f (x)| ≤ M pour tout x ∈ R.
(2) Notons d’abord que cette question a aussi été traitée, dans un cadre un peu différent, dans l’Ex. I.3. Ensuite, E u est un sous-ensemble de l’espace de Banach F u des
fonctions continues bornées sur R muni de la norme uniforme.
(i) E u espace vectoriel.
C’est évident.
(ii) E espace de Banach.
Il suffit de prouver que E u est un sous-espace fermé de F u . Soit f ∈ E u , ε > 0, g ∈ E u
telle que f − g u ≤ ε. Il existe A > 0 tel que |x| ≥ A =⇒ |g(x)| ≤ ε. On voit donc que
|x| ≥ A =⇒ | f (x)| ≤ | f (x) − g(x)| + |g(x)| ≤ ≤ f − g u + |g(x)| ≤ 2ε,
ce qui montre que f ∈ E u .
(3) (i) Les points de la boule unité ouverte.
Comme dans tout espace de Banach, un point de la boule unité ouverte ne peut pas être
point extrême de la boule unité fermée. En effet, si f u < 1, soit r = 1 − − f u > 0 et
g ∈ E u avec g u = r. Alors f ± g ∈ B, mais g 0.
(ii) Les points de la sphère unité.
Notons que la condition de norme uniforme égale à 1 n’est pas très contraignante puisqu’il suffit qu’en un point x 0 l’on ait | f (x 0 )| = 1 et qu’en tous les autres x, | f (x)| ≤ 1.
Un graphe de fonction réelle f non constante montre qu’une fonction non constante est
intérieure à S .
y
x
0
f 1
f 2
f
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