2. Solutions
On utilise alors la deuxième des conditions (b). Soit h un majorant des f j , X ∈
q , et
ε > 0. On peut trouver Y ∈ V tel que X − Y ≤ ε. On a alors || f j , Y ≤ ε pour j ≥ J(ε),
d’où pour ces mêmes j :
|| f j , X| ≤ || f j , X − Y| + || f j , Y| ≤ ≤ f j X − Y + || f j , Y|
≤ hε + || f j , Y| ≤ (h + 1)ε,
ce qui achève la preuve.
(2) Si E est un espace de Hilbert séparable (de dimension infinie), il s’identifie isométriquement à
2 au moyen d’une base orthonormée (e n , n ∈ N
∗ ), par la correspondance
f →
f, e n
n≥1 . L’hypothèse (b) se traduit d’une part par la convergence de chaque
f j , e n vers f, e n , d’autre part par le caractère borné de f j , qui n’admet pas de traduction plus précise.
Remarque : On note que la première partie de la condition (b) n’est pas suffisante. Si
f j = ju j , où u j est la « base » canonique de
p , i.e. u j (n) = δ j,n , on a f j (n) = ju j (n) = 0
dès que j > n, mais f j = j n’est pas bornée (et donc il existera X ∈
q tel que f j , X
ne tende pas vers zéro).
Exercice IX.5
Pour éviter trop de répétitions, il est utile d’adopter ici un point de vue plus général : Soit
E un C- espace vectoriel, par exemple, et (p i ) i∈I une famille « séparante » de semi-normes
sur E, i.e.
x ∈ E et x 0 =⇒ il existe i tel que p i (x) 0.
(IX.13)
Pour a ∈ E, J partie finie de I, et ε > 0, on pose (ceci généralise (D 9.7)) :
V J (a, ε) = {x ∈ E tels que max
i∈J
p i (x − a) < ε}.
Alors, la topologie sur E dont les ouverts sont les réunions de V J (a, ε) est une topologie
séparée (par (IX.13)) et les V J (a, ε) forment une base de voisinages convexes de a, donc
E avec ces ouverts est un EVTLC séparé. Cette topologie s’appelle la topologie associée
à la famille de semi-normes (p i ). Il est évident que, si la famille (q j ) j∈J de semi-normes
contient la famille (p i ) i∈I , elle définit sur E une topologie plus fine.
(1) Trois familles d’ouverts sont à comparer, mais deux comparaisons suffiront ici.
(i) Topologies faible et *-faible.
Selon la définition, la topologie de F 3 est celle associée à la famille de semi-normes
(p x ) x∈E définies par
p x ( f ) = | f (x)|, pour tout f ∈ F.
Cette famille est séparante par définition.Tandis que la topologie de F 2 est celle associée
à la famille de semi-normes (q L ) L∈F ∗ définies par
q L ( f ) = |L( f )|, pour tout f ∈ F.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
229
On utilise alors la deuxième des conditions (b). Soit h un majorant des f j , X ∈
q , et
ε > 0. On peut trouver Y ∈ V tel que X − Y ≤ ε. On a alors || f j , Y ≤ ε pour j ≥ J(ε),
d’où pour ces mêmes j :
|| f j , X| ≤ || f j , X − Y| + || f j , Y| ≤ ≤ f j X − Y + || f j , Y|
≤ hε + || f j , Y| ≤ (h + 1)ε,
ce qui achève la preuve.
(2) Si E est un espace de Hilbert séparable (de dimension infinie), il s’identifie isométriquement à
2 au moyen d’une base orthonormée (e n , n ∈ N
∗ ), par la correspondance
f →
f, e n
n≥1 . L’hypothèse (b) se traduit d’une part par la convergence de chaque
f j , e n vers f, e n , d’autre part par le caractère borné de f j , qui n’admet pas de traduction plus précise.
Remarque : On note que la première partie de la condition (b) n’est pas suffisante. Si
f j = ju j , où u j est la « base » canonique de
p , i.e. u j (n) = δ j,n , on a f j (n) = ju j (n) = 0
dès que j > n, mais f j = j n’est pas bornée (et donc il existera X ∈
q tel que f j , X
ne tende pas vers zéro).
Exercice IX.5
Pour éviter trop de répétitions, il est utile d’adopter ici un point de vue plus général : Soit
E un C- espace vectoriel, par exemple, et (p i ) i∈I une famille « séparante » de semi-normes
sur E, i.e.
x ∈ E et x 0 =⇒ il existe i tel que p i (x) 0.
(IX.13)
Pour a ∈ E, J partie finie de I, et ε > 0, on pose (ceci généralise (D 9.7)) :
V J (a, ε) = {x ∈ E tels que max
i∈J
p i (x − a) < ε}.
Alors, la topologie sur E dont les ouverts sont les réunions de V J (a, ε) est une topologie
séparée (par (IX.13)) et les V J (a, ε) forment une base de voisinages convexes de a, donc
E avec ces ouverts est un EVTLC séparé. Cette topologie s’appelle la topologie associée
à la famille de semi-normes (p i ). Il est évident que, si la famille (q j ) j∈J de semi-normes
contient la famille (p i ) i∈I , elle définit sur E une topologie plus fine.
(1) Trois familles d’ouverts sont à comparer, mais deux comparaisons suffiront ici.
(i) Topologies faible et *-faible.
Selon la définition, la topologie de F 3 est celle associée à la famille de semi-normes
(p x ) x∈E définies par
p x ( f ) = | f (x)|, pour tout f ∈ F.
Cette famille est séparante par définition.Tandis que la topologie de F 2 est celle associée
à la famille de semi-normes (q L ) L∈F ∗ définies par
q L ( f ) = |L( f )|, pour tout f ∈ F.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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